КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Предел числовой последовательности Теорема о единственности предела. Критерии Коши
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства бесконечно малых последовательностей. Теорема связи между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого малого положительного числа можно подобрать такой номер N, что, начиная с этого номера (т.е. для всех ), будет выполнено неравенство < . Пример б.м.п. … Св-ва б.м.п.: 1. -б.м.п. 2. -б.м.п., - огранич. посл-ть -б.м.п. 3. -б.м.п. 4. -б.м.п., Последовательность наз-ся полож. бесконечно большой, если для любого большого числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство xn>M. Пример Последовательность наз-ся отриц. бесконечно большой, если для любого большого по модулю отриц. числа M найдется такой номер N, что для всех n, начиная с этого номера, выполняется неравенство xn<M. Пример Связь между б.м.п. и б.б.п.: Если -б.б.п. (все ее члены 0), то посл-ть -б.м.п. Обратная формулировка также верна. Док-во: Пусть -б.б.п. Возьмем любое >0 и положим . Согласно опр-ю б.б.п. для А сущ-ет номер N такой, что при n>N будет >A. Отсюда получаем, что для всех n>N. A это значит, что -б.м.п. Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство . Обозначение: или . Геометрический смысл предела числовой последовательности Число a – предел последовательности xn, если в любую окрестность числа а, начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности . Теорема "Об единственности пределов"
Док-во (от противного) Для того, чтобы функция f (x) при x → a стремилась к конечному пределу A, необходимо и достаточно, чтобы функция α (x) = f (x) − A была бесконечно малой в точке a. Доказательство. Необходимость. Если lim x→a f (x) = A, то ∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x ∈ Rδ (a) {a} ⇒ f (x) − A < ε. Очевидно, что f (x) − A < ε ⇒ α (x) − 0 < ε. Откуда немедленно следует, что lim x→a α (x) = 0. Достаточность. Если lim x→a f(x) = 0, то ∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x ∈ Rδ (a) {a} ⇒ α (x) − 0 < ε. Так как α (x) − 0 < ε ⇒ f (x) − A < ε, то это и означает, что lim x→a f (x) = A. Доказанную теорему можно сформулировать иначе: функция f (x) при x → a стремится к конечному пределу A тогда и только тогда, когда f (x) равна сумме числа A и некоторой функции α (x), бесконечно малой в точке a f (x) = A + α (x). (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши. Последовательность удовлетворяет условию Коши, если .
Дата добавления: 2015-03-29; Просмотров: 892; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |