Спагетти и физика

Ну, вот, мы и добрались до физики пасты (так итальянцы называют любые макаронные изделия). Я буду говорить сегодня только о пасте цилиндрической формы. Это: Capelli d'angelo – волосы ангела, самая тонкая паста, у которой диаметр всего лишь 0,85 мм, спагеттини, спагетти, вермишель, букатини разных номеров. Все виды цилиндрической пасты без центрального отверстия вдоль оси цилиндра варьируются в диаметре всего лишь от одного до двух миллиметров. Уже при диаметре в 2,7 мм (букатини) такое отверстие почему-то оказывается необходимым. Сейчас поймем почему.

Что значит сварить макароны? Во-первых, их нужно нагреть. Если я брошу макароны в холодную воду, то пасты у меня не получится. Во-вторых, я должен пропитать их объем водой, если я их просто в печку положу, то тоже пасты не получится. Если раньше я решал задачу только о доставке тепла, о повышении температуры, то здесь я должен решить задачу еще и о доставке воды. Паста была специально высушена на фабрике, и мне надо восстановить воду в ней. Вы это уравнение уже видели -- красивое уравнение теплопроводности. А вот это -- уравнение диффузии, описывающее как изменяется концентрация воды от времени, от координаты в цилиндре, который моделирует пасту. Последнее оказывается математически эквивалентным уравнению теплопроводности. Те же уравнения, те же решения, поэтому я снова напишу формулу, говорящее о том, что время приготовления, есть ad²+b. И оказывается не так уж важно, что раньше у меня была сфера, а теперь цилиндр. При рассмотрении вопроса о варке пасты оказывается удобней работать не с массой, а именно с диаметром. Коэффициент а определяется теплопроводностью и коэффициентом диффузии, но для меня это не важно, я буду определять а эмпирически. Что касается параметра b, то мы с вами видели, что для индейки он практически равен 0. В случае варки пасты параметр b, как мы увидим, от нуля отличается и я утверждаю, что его величина зависит от национальности едока. Признайтесь честно, Тут, вероятно, присутствуют многие люди, которые варят макарон:, вы действительно их варите столько минут, сколько итальянцы пишут на обертке?

- Да.

- Это новое поколение. А старое поколение? Наши мамы конечно варят дольше. А итальянцы недоваривают, даже по сравнению с тем, что написано! Почему? Да потому, что макароны, после того как они отброшены на дуршлаг, должные еще отправиться в сковородку с соусом. И там они еще будут доходить. Поэтому надо на минуту-две не доварить по сравнению с тем, что написано на пачке. Поэтому для итальянцев коэффициент b должен быть отрицательным. Я вам сейчас это докажу с цифрой в руках.

Что означает термин паста «al dente»? В моей модели этому соответствует тот факт, что вода и (или) температура не дошла до оси цилиндра. Центр спагетти остался сырым. На практике это, конечно, не совсем так. Мы понимаем, что в тесте во время варки происходят сложные физико-химические процессы, диффузия, нагревание, денатуризируются крахмалы, где-то в молекулы входит вода. Моя же модель проста -- донести воду и необходимую температуру почти до центра. Все. Посмотрим, «не выбрасываю ли я вместе с грязной водой ребенка», смогу ли я построить разумную теорию.

Я пошел в супермаркет и купил всю цилиндрическую пасту, которая там была: Capellini №1, Spaghettini № 3, Spaghetti № 5, Vermicelli № 7, Vermicelli № 8, Bucottini. Последние уже настолько толстые, что в них имеется отверстие, это, своего рода, тонкие макароны. Затем пошел в лабораторию к Александру Салимовичу, который здесь присутствует, взял штангенциркуль и все это промерил. Получилась следующая таблица:

В нашей формуле, t=ad²+b имеется два неизвестных параметра -- a и b. Я не стану их выискивать в интернете, а определю их по-простому. А именно, я возьму в качестве реперных точек, Spaghettini № 3 и Vermicelli № 8 (крайние строки таблицы брать не стоит, это может привести к большей ошибке). Для оптимального приготовления спагетти производитель рекомендует 5 минут (так, что написано на пачке). Примем это за величину экспериментально проверенного времени варки. Для vermicelli № 8 соответствующее время составляет 13 минут. Итак, у меня имеется два уравнения связывающие известные времена приготовления двух типов цилиндрической пасты с известными же их диаметрами. Неизвестными остаются параметры a и b. Решив два алгебраических уравнения с двумя неизвестными, получаем

Пользуясь найденными параметрами «предсказываем» времена и для всех остальных имеющихся у нас макаронных изделий. Видим, что моя формула работает замечательно в середине таблицы, и дает сбои по ее краям. Действительно, не очень ладится с capellini: имеем 2.2 минуты вместо рекомендуемых трех, ну а с Bucаttini вообще большая беда, -- тут наша формула дает 25 минут вместо 8. Это просто какое-то торжество практики над разумом. Давайте попробуем разобраться.

Начнем с букаттини. Скажите, пожалуйста, как вы думаете, а зачем дырку сделали? Имеются две возможные причины. Первая – если есть дырка, то не нужно гнать тепло вплоть до самого центра через внешнюю поверхность, поскольку все равно туда вода зальется. В качестве второго объяснения, возможно, мне кто-то скажет, что, благодаря внутреннему отверстию, окажется потока тепла, один извне, другой изнутри? Как вы думаете, изнутри пойдет поток или нет? Не пойдет. Для того, чтобы пошел стационарный поток тепла, недостаточно, чтобы внутри букаттини вода имела температуру 100 градусов. Возьмите кастрюлю с водой и положите в нее маленькую кастрюльку, будет в ней кипеть вода? Не будет, мало того, что вокруг 100 градусов, надо чтобы огонь под большой кастрюлей все время поставлял все новую и новую энергию. То же самое, происходит и с длинным Bucottini. Вода действительно в первый момент входит с температурой 100 градусов, но далее, где брать энергию для теплопереноса внутрь теста? Поэтому я возьму мою формулу t = ad²+b, которая учитывает только поток извне, и вычту в ней из диаметра размер центральной части, которую греть уже не надо, там уже есть вода со своими 100 градусами. Подставляю мои числа и вижу, что теоретическое время варки у меня получается 7,5 минуты вместо рекомендуемых 8.

t = a(D-d)² + b ≈ 7,5 мин.

Вот это действительно здорово!

Итак мы видим, что я придумал теорию, она работает в каком-то диапазоне, но как только я вышел за его пределы, то теория перестала работать. За 25 минут у меня тесто просто в кашу превратится! Тогда я усложняю мою теорию, учитываю центральную часть, и теория снова замечательно работает. Это неплохой пример который показывает, как работает физик-теоретик. Ты придумываешь некую модель, она работает в каких-то пределах, которые ты заранее должен оговорить, а на границах может отказывать, тогда надо пересматривать теорию.

Теперь давайте разберемся со второй неприятностью. Capellini тоненькие, у них диаметр. Всего 1,15 мм. Рекомендуют нам 3 минуты, а у нас получилось 2.2. А чего вы хотели? Из нашей формулы, если хотите знать, следует, что есть такая толщина, при которой можно есть эти макароны сырыми. Я же сказал aldente, что значит на зуб. Это означает, что в моей модели тепло до центра не доходит. Давайте посмотрим, какая же в моей модели должна быть толщина макарон, чтобы их можно было есть сырыми. Время приготовления положим равным 0, следовательно

ad² + b = 0.

a – величина положительная, а b – отрицательная, следовательно, это уравнение имеет корень. Видим, что соответствующее критическое значение d есть 0,85 мм. Т.е. по моей логике гипотетическую пасту с диаметром 0,85 мм вообще не надо готовить. А 1,15 мм – это уже совсем рядом. Т.е. пока было 2 мм – все хорошо, когда же мы приближаемся к 1 мм, то теория перестает работать.

Макароны служат и индустрии. Однажды одна швейцарская фирма взялась изучать, как вязать рыболовные сети. Инженеры фирмы сделали математическую модель, из которой следовало, что самые опасные места в смысле разрыва оказываются вот эти вот в узлах. И решили это проверить экспериментально, но на настоящей сети у них не получилось. В те времена у них не было быстрой камеры, и как рвется капрон, они уследить не смогли. Тогда было предложено остроумное решение. Инженеры взяли спагетти, сварили, облили оливковым маслом, завязали узлами и стали изучать процесс разрыва на медленной камере.

Видел ли кто-нибудь, чтобы макароны при варке заузливались? Никто не видел. А почему они не заузливаются? Вы думаете, это так просто? Я задал себе вопрос, какой длины должна быть макаронина, чтобы она заузливалась? Почему провод от наушников заузливается всегда, а макароны нет? Более того, из 5000 аминокислот заузливается гораздо меньше, чем должно бы из современных теоретических представлений. У меня есть коллега и друг, Александр Гроссберг – большой специалист по узлам. Много лет назад он был профессором в МГУ, сейчас – профессор Нью-Йорке. Как-то я попросил его ответить мне на вышеуказанные вопросы, но он сказал, что задача о заузливании длинной веревки пока до конца не решена. Пока не найдена формула, которая определяла бы аналитически вероятность заузливания. Есть численные модели, но хорошей теории нет.

Из общих принципов статистической механики понятно, что вероятность самозаузливания шнура определяется экспонентой в степени которой стоит его длина деленная на некую величины размерности длины γξ, все со знаком минус:

Что такое здесь ξ, и что такое γ? Величина ξ это та характерная длина шнура, на котором он может изменить свое направление на прямой угол /2. У наушников провод изгибается очень легко, можно сказать, что ξ меньше одного сантиметра. А вот этот провод почти совсем не гнется. Итак, ξ это характерная длина материала, характеризующая его упругость на изгиб. А γ - это тот численный коэффициент, который пока получается только в результате счета на компьютере. Удивительно то, что γ оказывается огромным - около 300, дело редчайшее. Но именно поэтому не заузливаются спагетти и аминокислоты. Давайте оценим вероятность заузлится для спагетти. Примем ξ 2-3 см. Тогда, для того, чтобы спагетти заузливались с 10% вероятностью,, их длина должна быть порядка 1 м. А стандарт для макарон – 23 см.

Наконец, я хотел бы провести эксперимент. Все знают про Нобелевскую премию. Благодаря журналистам, наверно, все знают и про Ignobleprize, по-русски Шнобелевская премия. Ignobleprize 2007 г. была дана двум французам Одули и Неукричу. За что – сейчас расскажу.

Возьмем спагеттину за концы и изогнем ее в дугу. Представляется очевидным, что при дальнейшем изгибе рано или поздно она, где-нибудь около середины, разломается на две части. Оказывается, что в этом случае интуиция нас подводит, обломков почти всегда окажется три и более.

Такое необычное свойство спагетти привлекло к себе внимание многих ученых, среди которых был и Ричард Фейнман. И только совсем недавно, в~августе 2005 года, благодаря исследованию двух французских физиков, Одули и Неукрича, появилось количественное объяснение этого явления, которое, возможно, найдет свое дальнейшее развитие в науке о сопротивлении материалов и применения в строительстве. Ученые исследовали поведение тонкого упругого стержня под воздействием деформации изгиба. Для этого они воспользовались так называемым уравнением Кирхгофа, записав его для искривленного упругого стержня, сначала с двумя закрепленными концами. Затем они изучили, что произойдет с распределением напряжений в стержне при его разломе в произвольной точке. Решение оказалось возможным найти лишь численно, однако и это позволило понять физику. Допустим, что в~результате приложенного механического напряжения изгиба в самом слабом месте спагеттины проходит первый излом. Казалось бы, что после него обе образовавшиеся части должны вернуться к своим положениям равновесия. Однако этот процесс происходит весьма сложным и неоднозначным образом. Сразу же после первого излома в обоих частях стержня возникают упругие волны изгиба, которые распространяются вдоль них. Они приводят к возрастанию в определенных областях стержня локального напряжения изгиба по сравнению с уже имеющимся статическим изгибом, предшествующим первому излому. В результате, в этих местах сгущения изгибного напряжения могут происходить дальнейшие изломы стержня. Конечно, такие упругие волны, порожденные первым изломом, затухают со временем, однако они при определенном соотношении между длиной стержня и его упругими свойствами могут привести к последующей фрагментации стержня. Замечательно, что проведя свои сложные расчеты ученые убедились в правильности своих выводов с помощью замедленной съемки экспериментов со спагетти скоростной кинокамерой.

Дата добавления: 2015-03-31