Основные методы экологических исследований 6 страница

Ответ: 122.

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . В какой точке от­рез­ка функ­ция при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

Ре­ше­ние.

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −3.

Ответ: −3.

10. B 10. Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если все ее ребра уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. По­это­му, если все ребра уве­ли­че­ны в 2 раза, пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чит­ся в 4 раза.

Ответ: 4.

11. B 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

.

Ответ: 0,5.

12. B 12. Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти , опе­ра­тив­но­сти , объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций , а также ка­че­ства сайта . Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся чи­та­те­ля­ми по 5-балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от -2 до 2.

Ана­ли­ти­ки, со­став­ля­ю­щие фор­му­лу рей­тин­га, счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций — впя­те­ро до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Если по всем че­ты­рем по­ка­за­те­лям какое-то из­да­ние по­лу­чи­ло одну и ту же оцен­ку, то рей­тинг дол­жен сов­па­дать с этой оцен­кой. Най­ди­те число , при ко­то­ром это усло­вие будет вы­пол­нять­ся.

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим сов­па­да­ю­щую оцен­ку по раз­ным по­ка­за­те­лям По­сколь­ку все по­ка­за­те­ли равны друг другу, все они равны Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу, учи­ты­вая, что рей­тинг равен :

Ответ:10.

13. B 13. Диа­го­наль пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна и об­ра­зу­ет углы 30 , 30 и 45 с плос­ко­стя­ми гра­ней па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да на­про­тив угла в равно , по­сколь­ку об­ра­зу­ет с за­дан­ной диа­го­на­лью и диа­го­на­лью одной из гра­ней рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник. Два дру­гие ребра по по­стро­е­нию лежат в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках на­про­тив угла в и равны, по­это­му по­ло­ви­не диа­го­на­ли. Тогда объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да:

Ответ: 4.

14. B 14. От при­ста­ни A к при­ста­ни B от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 1 час после этого сле­дом за ним со ско­ро­стью на 1 км/ч боль­шей от­пра­вил­ся вто­рой. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми равно 420 км. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт B оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но. Ответ дайте в км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да по те­че­нию равна км/ч. Пер­вый теп­ло­ход на­хо­дил­ся в пути на 1 час боль­ше, чем вто­рой, от­сю­да имеем:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 20 км/ч.

Ответ: 20.

15. B 15. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: 0.

16. C 1. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку .

Ре­ше­ние.

а) Решим урав­не­ние

б) Най­дем корни, ле­жа­щие в за­дан­ном от­рез­ке, решая двой­ное не­ра­вен­ство:

Тогда ис­ко­мый ко­рень .

При­ме­ча­ние.

Отобрать корни можно, ис­поль­зуя три­го­но­мет­ри­че­скую окруж­ность (см. рис.).

Ответ: а) ; б) .

17. C 2. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все рёбра ко­то­рой равны най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до пря­мой

Ре­ше­ние.

Так как — пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник, то пря­мые и па­рал­лель­ны.

Па­рал­лель­ны также пря­мые и и сле­до­ва­тель­но, пря­мые и па­рал­лель­ны. Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой равно рас­сто­я­нию между пря­мы­ми и

В тра­пе­ции имеем Зна­чит, тогда

Ответ:

18. C 3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ре­ше­ние.

1. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай: .

Эта си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Вто­рой слу­чай: . Имеем:

2. Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­ход­ной си­сте­мы:

3. Ре­ше­ние ис­ход­ной си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ: −3; 0; [2; 4).

19. C 4. Окруж­ность ра­ди­у­са впи­са­на в пря­мой угол. Вто­рая окруж­ность также впи­са­на в этот угол и пе­ре­се­ка­ет­ся с пер­вой в точ­ках M и N. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 12. Най­ди­те MN.

Ре­ше­ние.

Пусть O ₁ — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са O ₂ — центр вто­рой окруж­но­сти, A — вер­ши­на пря­мо­го угла, тогда

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: точка O ₁ лежит между точ­ка­ми A и O ₂ (рис. 1), тогда O ₂ A = O ₁ A + O ₁ O ₂ = 28, от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O ₁ MO ₂ имеем O ₁ O ₂ = 12, По­сколь­ку общая хорда MN окруж­но­стей пер­пен­ди­ку­ляр­на линии цен­тров O ₁ O ₂ и де­лит­ся ею по­по­лам, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O ₁ MO ₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O ₁ MO ₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Вто­рой слу­чай: точка O ₂ лежит между точ­ка­ми A и O ₁ (рис. 2), тогда O ₂ A,= O ₁ A − O ₁ O ₂ от­ку­да ра­ди­ус вто­рой окруж­но­сти

В тре­уголь­ни­ке O ₁ MO ₂ имеем O ₁ O ₂ = 12, Ана­ло­гич­но пер­во­му слу­чаю, вы­со­та MH тре­уголь­ни­ка O ₁ MO ₂ равна по­ло­ви­не MN.

В тре­уголь­ни­ке O ₁ MO ₂ по­лу­пе­ри­метр

от­ку­да

Ответ: или

20. C 5. При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ров а и b си­сте­ма имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний?

Ре­ше­ние.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти хОу мно­же­ство точек , удо­вле­тво­ря­ю­щих лю­бо­му из урав­не­ний си­сте­мы — пря­мые. А тогда ре­ше­ни­ем си­сте­мы будут точки пе­ре­се­че­ния этих пря­мых. По­это­му ис­ход­ная си­сте­ма будет иметь бес­ко­неч­ное мно­же­ство ре­ше­ний в том и толь­ко в том слу­чае, когда эти пря­мые сов­па­да­ют. В общем слу­чае две пря­мые, за­дан­ные урав­не­ни­я­ми и сов­па­да­ют, если, и (при они имеют одну точку пе­ре­се­че­ния, при и точек пе­ре­се­че­ния у них нет). Сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма будет иметь бес­ко­неч­но много ре­ше­ний в том слу­чае, когда сов­мест­на си­сте­ма

,

где и .

Решая си­сте­му, по­лу­ча­ем , .

Ответ: , .

21. C 6. Среди обык­но­вен­ных дро­бей с по­ло­жи­тель­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, рас­по­ло­жен­ных между чис­ла­ми и най­ди­те такую, зна­ме­на­тель ко­то­рой ми­ни­ма­лен.

Ре­ше­ние.

Так как

и

то до­ста­точ­но найти пра­виль­ную дробь с наи­мень­шим зна­ме­на­те­лем, ле­жа­щую между чис­ла­ми

и

а затем при­ба­вить к ней число 2.

Среди дро­бей со зна­ме­на­те­ля­ми 2, 3, 4, 5 и 6 нуж­ных дро­бей нет, так как

Для зна­ме­на­те­ля 7 по­лу­ча­ем то есть

и, сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

ОТВЕТЫ Вариант № 10

1. B 1. Сырок стоит 7 руб­лей 20 ко­пе­ек. Какое наи­боль­шее число сыр­ков можно ку­пить на 60 руб­лей?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 60 на 7,2:

Зна­чит, на 60 руб­лей можно ку­пить 8 сыр­ков.

Ответ: 8.

2. B 2. 1 ки­ло­ватт-час элек­тро­энер­гии стоит 1 рубль 80 ко­пе­ек. Счет­чик элек­тро­энер­гии 1 но­яб­ря по­ка­зы­вал 12 625 ки­ло­ватт-часов, а 1 де­каб­ря по­ка­зы­вал 12 802 ки­ло­ватт-часа. Сколь­ко руб­лей нужно за­пла­тить за элек­тро­энер­гию за но­ябрь?

Ре­ше­ние.

Рас­ход элек­тро­энер­гии за но­ябрь со­став­ля­ет 12 802 − 12 625 = 177 ки­ло­ватт-часов. Зна­чит, за но­ябрь нужно за­пла­тить 1,8 177 = 318,6 рубля.

Ответ: 318,6.

3. B 3. Когда са­мо­лет на­хо­дит­ся в го­ри­зон­таль­ном по­ле­те, подъ­ем­ная сила, дей­ству­ю­щая на кры­лья, за­ви­сит толь­ко от ско­ро­сти. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на эта за­ви­си­мость для не­ко­то­ро­го са­мо­ле­та. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся ско­рость (в ки­ло­мет­рах в час), на оси ор­ди­нат — сила (в тон­нах силы). Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, чему равна подъ­ем­ная сила (в тон­нах силы) при ско­ро­сти 200 км/ч?

Ре­ше­ние.

Из гра­фи­ка видно, что при ско­ро­сти 200 км в час дей­ству­ю­щая на кры­лья подъ­ем­ная сила равна одной тонне силы.

Ответ: 1.

4. B 4. Для остек­ле­ния му­зей­ных вит­рин тре­бу­ет­ся за­ка­зать 20 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 м². В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло и на резку сте­кол. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

Фирма	Цена стек­ла (руб. за 1 м^2)	Резка стек­ла (руб. за одно стек­ло)	До­пол­ни­тель­ные усло­вия
A
Б
В			При за­ка­зе на сумму боль­ше 2500 руб. резка бес­плат­но.

Ре­ше­ние.

Общая пло­щадь стек­ла, ко­то­ро­го нужно из­го­то­вить равна 20 0,25 = 5 м².

Сто­и­мость за­ка­за в фирме А скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 300 5 = 1500 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 17 20 = 340 руб. Всего 1840 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме Б скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 320 5 = 1600 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 13 20 = 260 руб. Всего 1860 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме В скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 340 5 = 1700 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 8 20 = 160 руб. Всего 1860 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го за­ка­за со­став­ля­ет 1840 руб­лей.

Ответ: 1840.

5. B 5. Пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из вер­ши­ны ту­по­го угла на боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, делит его на части, име­ю­щие длины 10 и 4. Най­ди­те сред­нюю линию этой тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

сред­няя линия тра­пе­ции равна:

.

Ответ: 10.

6. B 6. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен.

Ре­ше­ние.

Най­дем ве­ро­ят­ность того, что не­ис­прав­ны оба ав­то­ма­та. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.

Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ис­пра­вен хотя бы один ав­то­мат, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен пер­вый ав­то­мат (со­бы­тие А) равна 0,95. Ве­ро­ят­ность того, что ис­пра­вен вто­рой ав­то­мат (со­бы­тие В) равна 0,95. Это сов­мест­ные не­за­ви­си­мые со­бы­тия. Ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, а ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния. Имеем:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B) = 0,95 + 0,95 − 0,95·0,95 = 0,9975.

7. B 7. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лу , по­лу­ча­ем:

Ответ: 6.

При­ме­ча­ние.

Сле­ду­ет от­ли­чать это урав­не­ние от по­хо­же­го, но дру­го­го: . В этом слу­чае имеем:

8. B 8. В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции боль­шее ос­но­ва­ние равно 25, бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, угол между ними . Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту .

.

Ответ: 15.

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

Ре­ше­ние.

Про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на на тех ин­тер­ва­лах, на ко­то­рых функ­ция воз­рас­та­ет, т. е. на ин­тер­ва­лах (−3; 0) и (4,2; 7). В них со­дер­жат­ся целые точки −2, −1, 5 и 6, всего их 4.

Ответ: 4.

10. B 10.

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы , пло­щадь ос­но­ва­ния ко­то­рой равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 3.

Ре­ше­ние.

Мно­го­гран­ник, объем ко­то­ро­го тре­бу­ет­ся найти, яв­ля­ет­ся пря­мой тре­уголь­ной приз­мой. Объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту. Ос­но­ва­ни­ем приз­мы яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник, его пло­щадь равна одной ше­стой пло­ща­ди ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы. Вы­со­той пря­мой приз­мы яв­ля­ет­ся бо­ко­вое ребро, его длина равна 3. Таким об­ра­зом, ис­ко­мый объем равен 3.

Най­ди­те , если , при .

Ре­ше­ние.

По­ка­жем, что чис­ли­тель дроби равен зна­ме­на­те­лю:

Таким об­ра­зом,

.

Ответ: 1.

12. B 12. Рас­сто­я­ние от на­блю­да­те­ля, на­хо­дя­ще­го­ся на вы­со­те м над землeй, вы­ра­жен­ное в ки­ло­мет­рах, до ви­ди­мой им линии го­ри­зон­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , где км — ра­ди­ус Земли. Че­ло­век, сто­я­щий на пляже, видит го­ри­зонт на рас­сто­я­нии 12 км. К пляжу ведeт лест­ни­ца, каж­дая сту­пень­ка ко­то­рой имеет вы­со­ту 20 см. На какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство сту­пе­нек нужно под­нять­ся че­ло­ве­ку, чтобы он уви­дел го­ри­зонт на рас­сто­я­нии не менее 44 ки­ло­мет­ров?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ний и при за­дан­ном зна­че­нии :

Дата добавления: 2015-04-23