Теорема. Любая положительно-определенная матрица может быть представлена в виде произведения двух матриц: нижней треугольной матрицы и транспонированной к ней верхней

Любая положительно-определенная матрица может быть представлена в виде произведения двух матриц: нижней треугольной матрицы и транспонированной к ней верхней треугольной матрицы.

– нижняя треугольная матрица

– верхняя треугольная матрица

Матрица называется положительно-определенной, если она невырождена, если все ее коэффициенты – действительные числа, и если при любом ненулевом векторе , величина

Положительно-определенная матрица является симметричной, т.е. .

Из того, что матрица является положительно-определенной, т.е. она невырождена, действительная и при любом векторе произведение :

1)

2)

3)

Приравнивая элемента строки получим уравнение:

При

Все действия алгоритма является выполнимыми, если матрица является положительно- определенной матрицей.

Существуют разные модификации метода разложения Халецкова. Мы остановимся на одной: метод Халецкова с внешним произведением.

В этом методе используется блочное представление матриц, а именно матрица записывается в виде:

Размер матрицы на 1 меньше размера матрицы ,

0 – нулевой вектор

1)

2)

1)

4) , размер матрицы на 1 меньше, чем размер матрицы .

По приведенному вычисляются значения первой строки и первого столбца .

До тех пор, пока матрица не станет равной .

Число операций, необходимых для выполнения этого преобразования равно .

Дата добавления: 2015-04-24