Вопрос 34.Минимизация погрешности интерполяции

Различные формы остаточного члена

Формула Тейлора

Вопрос 33.Матричная форма записи ряда Тейлора.

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

§ Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки , § Пусть § Пусть — произвольное положительное число, тогда: точка при или при :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

В некоторых случаях удается улучшить результаты глобальной интерполяции за счет специального расположения узлов интерполяции (если они не зафиксированы). Доказано, что если функция имеет непрерывную производную на отрезке , то при выборе значений , совпадающих с корнями полинома Чебышева степени n, интерполяционные полиномы степени n -1 сходятся к значениям функции в любой точке этого отрезка. Корни многочлена Чебышева на отрезке определяются выражением

, .

Они расположены неравномерно на отрезке и сгущаются к его концам. Такое сгущение компенсирует увеличение погрешности интерполяции при приближении к концам отрезка, которое имеет место при равномерном расположении узлов.

Однако не всегда удается выбрать такое специальное расположение узлов, которое обеспечивает хорошую точность глобальной интерполяции. В тех случаях, когда узлы интерполяции фиксированы, уменьшение погрешности интерполяции осуществляют за счет уменьшения степени интерполяционных полиномов, применяя многоинтервальную интерполяцию.

Дата добавления: 2015-04-24