Градиент

Производная по направлению

Поверхность уровня

Билет №16. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент

Если каждой точке M области многомерного пространства поставлено в соответствие некоторое число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая R ⁿ в R

Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть функция должна принадлежать C ^m).

Примеры пространственных скалярных полей: температура.Пример плоского поля: глубина моря, отмеченная каким-либо образом на плоской карте.

Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат

Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхности уровня. Поверхностью уровня скалярного поля u = u (x, y, z) называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением u (x, y, z) = c.

Для плоского поля вместо поверхности получаются линии уровня. Примеры: изобара, изотерма и прочие изолинии.

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает на сколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате. Максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке.

Направление скорейшего возрастания поля указывает вектор градиента , или , с координатами: .

Градиент всегда перпендикулярен поверхностям уровня (в плоском поле — линиям уровня). Исключение - особые точки поля, в которых градиент равен нулю.

Дата добавления: 2015-04-24