Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие

Дифференцирование функции нескольких переменных. Полный дифференциал, его геометрический смысл.

Если каждой точке М(х1,х2,…,хn) из множества D точек пространства R поставлено в соответствие по некоторому закону число z,то говорят, что на множестве D определена функция n переменных.

z = f(x1,x2,…,xn).

Пусть функция u = f (x ₁, x ₂, …, x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a ₁, a ₂, …, a_n).

Определение 1. Функция u = f (x ₁, x ₂, …, x_n) называется дифференцируемой в точке a = (a ₁, a ₂, …, a_n), если ее полное приращение

Δ u = f (a 1 + Δ x 1, a 2 + Δ x 2, …, an + Δ xn) − f (a 1, a 2, …, an)

можно представить в виде

Δ u = A 1 · Δ x 1 + A 2 · Δ x 2 + … + An · Δ xn + α 1 · Δ x 1 + α 2 · Δ x 2 + … + αn · Δ xn,

(1)

где A_k — некоторые числа, не зависящие от Δ x_k (k = 1,2, …,n), α_k — функции Δ x ₁, …, Δ x_n, бесконечно малые при Δ x ₁ → 0, …, Δ x_n → 0 и равные нулю при Δ x ₁ = 0, …, Δ x_n = 0.

Определение 2. Если функция u = f (x ₁, x ₂, …, x_n) дифференцируема в точке a = (a ₁, a ₂, …, a_n), то линейная относительно Δ x ₁, …, Δ x_n часть ее приращения называется дифференциалом (или полным дифференциалом) функции u в точке a.

Таким образом

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой минимума.

Теорема. (Необходимые условия экстремума).

Если функция f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.

Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема. (Достаточные условия экстремума).

Пусть в окрестности критической точки (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

1)Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2) Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Дата добавления: 2015-04-24