Хід уроку

Інтерактивна вправа «Незакінчені речення».

Учитель формулює незакінчене речення і пропонує учням висловитися щодо підсумку уроку, закінчуючи його. Кожний наступний учасник обговорення повинен починати свій виступ із запропонованої формули. Учні працюють з відкритими реченнями: «На сьогоднішньому уроці ми дізналися...», «На сьогоднішньому уроці найважливішим відкриттям для мене було...».

Вчитель оцінює роботу груп.

VII. Домашнє завдання.

1. Повторити правила знаходження невідомих компонентів арифметичних дій.

2. §1, п. 1; № 9, 12, 14.

Л. К. Гладій

Проект «Теорема Піфагора»

Предмет: геометрія, 8 клас (2 уроки)

Педагогічний девіз проекту:

«Дуже добре допомагати своїм учням і направляти їх на вірний шлях. Але все це потрібно робити так, щоб учень не помітив допомоги та підказки і вірив, що все це він зробив сам» (ф. Нейман).

За тиждень до проведення уроку клас поділено на групи, кожна з яких отримала завдання:

Завдання 1 групи («Історикознавці»): вивчити біографію Піфагора, результати представити у вигляді буклету.

Завдання 2 групи («Теоретики»): підготувати огляд доведень теореми Піфагора у вигляді презентацій та публікації.

Завдання 3 групи («Літературознавці»): вивчити відображення теореми Піфагора в літературі: в легендах, віршах, піснях, анекдотах; результати представити у вигляді презентації.

Завдання 4 групи («Практики»): зібрати історичні завдання, у вирішенні яких застосовується теорема Піфагора, результат оформити у вигляді публікації.

Завдання 5 групи («Філософи»): вивчити досягнення Піфагора, його філософські вислови, їх зв’язок із сучасністю, результат оформити у вигляд презентації.

Результати цієї роботи були представлені на уроках.

Тема уроку: теорема Піфагора.

Мета уроку: познайомити учнів зі змістом та різними доведеннями теореми Піфагора; формувати вміння застосовувати теорему Піфагора до розв’язування задач; узагальнити знання про прямокутний трикутник; розширити коло геометричних завдань, що вирішуються учнями; ознайомити учнів з основними етапами життя і діяльності Піфагора; реалізувати міжпредметні зв’язки геометрії з алгеброю, географією, історією, біологією, літературою; розвивати дослідні та комунікативні здібності дітей, прищеплювати навички співпраці з іншими людьми, розвивати вміння, збирати інформацію та вмотивовано викладати висновки.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Не роби ніколи того, що не знаєш.

Але вчись усьому, що потрібно знаїи,

і тоді будеш вести спокійне життя.

Піфаґор

I. Організаційна частина.

ü Вступне слово вчителя.

Прямокутний трикутник — одна з перших геометричних фігур, про властивості якої людство дізналось ще в давнину. Задачі про трикутник знаходять у давньоєгипетських папірусах, старовинних індійських книгах. У падірусі Ахмеса згадується про властивості рівнобедреного та прямокутного трикутників, давні вавілоняни 4000 років тому вже знали про кути при основі рівнобедреного трикутника. Ознаки рівності трикутників були сформульовані Евдемом Родоським та Фалесом Мілетським. У Давній Греції в іонійській математичній школі (заснована в VI столітті до нашої ери Фалесом) та у школі Піфагора знали види й властивості трикутників. Систематизував ці відомості Евклід у першому трактаті з геометрії «Началах».

Чому ж трикутник цікавив людей з давніх часів? Жорсткість трикутника використовували під час будівництва й конструювання.

II. Актуалізація опорних знань учнів.

ü Технологія «Мікрофон».

Учень дає відповідь на одне запитання та передає мікрофон наступному учневі.

1. Трикутник, у якого є прямий кут... (прямокутний).

2. Сторона прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута... (гіпотенуза).

3. Перпендикуляр, проведений з вершини трикутника на протилежну сторону або її продовжений... (висота).

4. Відношення прилеглого до кута катета до гіпотенузи в прямокутному трикутнику... (косинус кута).

5. Відрізок, що сполучає основу перпендикуляра з основою похилої... (проекція).

6. Які проекції мають рівні похилі? (Рівні).

7. Яка проекція більшої похилої? (Більша).

8. Сформулюйте нерівність трикутника... (У будь-якому трикутнику колена сторона менша за суму двох інших сторін).

III. Мотивація навчальної діяльності.

У 1974 році до сузір’я Геркулес було відправлено потужний радіосигнал, який містив у собі 1679 різних повідомлень про людство, його наукові та культурні надбання, планету Земля, її хімічний склад та розміри. Серед них була зашифрована і теорема Піфагора. Дізнатись про те, чи змогли інші істоти у всесвіті розшифрувати і зрозуміти цю теорему, ми зможемо лише через 5 тисяч років (саме через цей проміжок часу повернеться сигнал назад на Землю). А чи зможете зрозуміти її ви, ми дізнаємось вже наприкінці уроку.

Цю теорему називають вічною. їй понад 2 тисячі років. В епоху Середньовіччя її називали «ослячим містком», тому що довести її було важко для тогочасних науковців. Тож спробуємо і ми перейти цей «ослячий місток».

IV. Повідомлення учнів.

«Історикознавці» (1-а група) про життя Піфагора

В VI ст. до н. е. у сім’ї золотаря Мнесарха народився син. За легендою, в Дельтах, куди приїхали Мнесарх з дружиною Парфенісою, — чи у справах, чи у весільну подорож, — оракул пророчив їм народження сина, який буде славитися у віках своєю мудрістю, справами та красою. Пророцтво збувається — в Сидоні Парфеніса народила хлопчика. І тоді, за давньою традицією, Парфеніса бере ім’я Піфіади, на честь Аполлона Піфійського, а сина називає Піфагором. У легенді нікого не сказано про рік народження Піфагора; історичні дослідження датують його появу на світ приблизно 580 роком до нашої ери на острові Самос.

Можливості дати сину гарну освіту та виховання у Мнесарха були. Майбутній математик та філософ вже в дитинстві виявив великий потяг до наук. Перший вчитель Гермодамаса навчив Піфагора основам музики та живопису. Через кілька років, скориставшись порадою свого вчителя, ІІіфагор вирішує продовжити навчання в Єгипті, у жреців. Потрапити до Єгипту у той час було дуже важко, бо країна була практично закрита від греків. За допомогою вчителя Піфагор залишає острів Самос і живе на острові Лесбос у свого родича Зоїла. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекідом — другом Фалеса. У Ферекіда Піфагор навчається астрології, таємницям чисел, медицині та іншим обов’язковим на той час наукам. Піфагор прожив на Лесбосі кілька років, звідти переїхав у Мілет до відомого Фалеса, засновника першої в історії філософської школи. Але Фалес радить йому їхати до Єгипту, щоб продовжити навчання.

І Піфагор вирушає в дорогу. На деякий час він зупиняється У Фінікії, де, за легендою, навчається у відомих сідонських жерців. А потім йому вдається потрапити в єгипетські. храми, куди чужоземців не пускали. Тому Піфагор прийняв посвячення в сан жерця. Навчання Піфагора в Єгипті сприяє, тому, що він стає одним із найбільш освічених людей свого часу.

У цей час помер фараон Амазіс, а його наступник по трону не сплатив щорічну данину Камбізу, перському царю, що служило достатнім приводом для війни. Перси руйнували навіть священні храми. Піддалися гонінням і жерці: їх вбивали або брали у полон. Тому Піфагор створює власну філософську школу. Це був одночасно і релігійний союз, і політичний клуб, і наукове товариство. Учні цієї школи зобов’язувались вести так званий піфагорійський спосіб життя.

Школа Піфагора, як і інші школи того часу, була не схожа на теперішні. Піфагор розмовляв із учнями, прогулюючись по вулицях, по саду, по березі річки. Говорили про все, що зустрічали на шляху: про торговців, про тварин, про загадкові явища природи.

Нелегко було стати учнем Піфагора. Вчитель не одразу допускав новачків до участі в своїх бесідах. По два-три роки вони повинні були мовчати, без права заговорити з учителем, задати йому питання. Тільки пройшовши через таке випробування, вони ставали повноправними, учнями.

Кожен член гуртка відрікався від свогр майна і давав клятву зберігати таємниці вчення засновника. В школі існував декрет, згідно якого авторство математичних робіт приписувалось Піфагору.

Піфагор брав участь у кулачних боях на 58 олімпіаді в 548 р. до н. е. Він був чемпіоном з цього виду спорту і утримував цей титул ще кілька олімпіад. Існує версія, що Піфагора не хотіли опускати до змагань, казали, що в нього «ні зросту, ні сили, ні зовнішності». «Так, — казав Піфагор, — але я буду наносити удари з математичною точністю».

Піфагора вбили у вуличній сутичці під час народного повстання. Після його смерті учні пов’язували з іменем свого вчителя багато легенд, тому встановити правду про Піфагора неможливо.

Геометричними досягненнями Піфагора вважають доведення теореми про суму кутів трикутника, трактат про многокутники та, звичайно, теорему, що носить його ім’я.

V. Вивчення нового матеріалу.

1. Формулювання теореми за Піфагором: сума площ квадратів, побудований на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі

2. Сучасне формулювання теореми Піфагора (учні записують у зошит): у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи.

3. Історична довідка про теорему Піфагора.

Учитель. Про теорему знали давно, ще 2000 років тому. Її використовували у Стародавньому Єгипті для трикутника зі сторонами 3, 4 і 5 відрізків (перевірте, чи справджується теорема для таких сторін прямокутного трикутника).

На сьогодні існує близько 300 доведень цієї теореми, і мабуть, Піфагор був не першим, хто довів її. Проте завдяки йому ця теорема перейшла з практичної галузі у наукову.

Інша назва теореми «Гекатомба», що в перекладі означає сто биків, які нібито приніс Піфагор в жертву богам в честь доведення цієї теореми.

Доведемо і ми цю теорему.

«Теоретики» (2 група) з різними доведеннями теореми Піфагора

1. Дано - прямокутний, C = 90°, .

Довести

Доведення

В , а в

Так як рівні ліві частини цих рівностей, то рівні і праві, отже .

Звідси, за властивістю пропорції, отримуємо:

Аналогічно, в , а в .

Так як рівні ліві частини цих рівностей, то рівні і праві, отже,

Звідси, за властивістю пропорції, отримуємо:

.

Так як то

Отримали, що

2. Нехай — довільний прямокутний трикутник, а — висота, проведена з вершини прямого кута С. Позначимо: СВ = а, AC=b, AB=c, AH=b₁, BH=a₁.

Оскільки , то , звідки

Оскільки , то , звідки

Отже, , тобто

3. Нехай — квадрат, АВ = ВС = СD = АD = с — гіпотенуза прямокутного трикутника , AL=a, BL=b. Побудуємо i . Одержимо чотири рівних прямокутних трикутники за гіпотенузою і за катетом і квадрат KLMN, бо KL=LM=MN=NK=a-b KL. Тоді площа або з другої сторони сумі площ квадрата і трикутників, т. б.

.

Що й треба було довести.

4. Дано: трикутник АВС, АС = Ь, СВ = а, АВ = с.

Довести: а²+b²=c²

Доведення:

Виконаємо добудову. АМDС — прямокутна трапеція з основами АС і МО,

Прирівнявши обидві площі, отримаємо

a²+ 2ab + b² = 2аb + с² отже а² +b² =с²

5. Розглянемо прямокутний трикутник із сторонами а, b, c та доведемо, що a²+b²=c²

Доведення. Побудуємо квадрат із стороною а + b. Його площа S=(a+b)². Добудуємо згаданий трикутник в цей квадрат так, як показано yа малюнку. З другого боку площа цього квадрата дорівнює сумі площ чотирьох рівних прямокутних трикутників, площа кожного з яких і квадрата з стороною с, тому . Прирівняємо ці площі (а + b)²=2аb + с², звідки с² = а² +b².

6. Дивись!

а²+b²=c²

7. Спробуй довести!

8. Доведення Евкліда.

В Евклідових «Началах» теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай А, В, С вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом А. Опустимо перпендикуляр з точки А на сторону, протилежну до гіпотенузи в квадраті, побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку саму площу, що й квадрати, побудовані на катетах. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

1. Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

2. Кути САВ і BAG — прямі; відповідно точки С, А і G — колінеарні. Так само В, А і Н.

3. Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

4. Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом між ними.

5. Оскільки точки А, К і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF =АВ²).

6. Аналогічно міркуючи отримаємо: CKLE = ACLH = АС²

З одного боку площа СВDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата ВС², або AB²+AC²=BC².

VI. Закріплення нових знань.

1. Розв’язування усних вправ за готовими малюнками.

Вчитель. Тепер, перейшовши «ослячий місток», перейдемо до складніших задач.

«Практики» (4-а група) з історичними та старовинними

задачами, у яких застосовувалась теорема Піфагора

1. На протилежних берегах річки стоять двоє стрільців. Зріст одного 180 см, другого 120 см. Ширина річки 500 см. Обидва стрільці одночасно випускають стрілу з лука, влучаючи в один момент у мішень на поверхні води, що лежить на прямій, яка сполучає ступні стрільців. Знайти довжини шляхів стріл та місце знаходження мішені.

Над озером тихим,

С полфута размером,

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водою,

Нашёл же рыбак

Его ранней весною

В двух футах

От места, где рос,

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода

Здесь глибока?

3. Чи можуть побачити один одного два космонавти, які летять над поверхнею Землі на висоті 200 км, якщо відстань між ними дорівнює 2000 км? Радіус Землі наближено дорівнює 6000 км.

4. «Стрибок мавпочки». На дереві сиділи дві мавпочки. Одна — на самій верхівці дерева, інша на висоті 10 ліктів від землі. Другій мавпочці захотілося напитись води з джерела, що знаходиться на відстані 40 ліктів від дерева. Вона

злізла з дерева і пострибала до води. У той самий момент перша зістрибнула з дерева і потрапила якраз до самого джерела. Обидві мавпочки Подолали однакову відстань. Скажи, о мудра людино, з якої висоти зістрибнула друга Мавпочка.

5. «Зламай бамбук». Бамбук, що має 40 ліктів у висоту, зламав вітер. Його верхівка торкнулась землі за 20 ліктів від основи стовбура. Скажи, о мудрий математику, на якій відстані від землі було зламано бамбук?

6. Дві вежі, висотою 30 і 40 футів, розташовані одна від одної на відстані 50 футів, між ними знаходиться фонтан. До фонтана одночасно з верхівок веж з однаковою швидкістю вилетіли два голуби. Яка відстань від веж до фонтана, якщо голуби долетіли до фонтана одночасно?

ü Інтерактивна вправа «Акваріум».

Вчитель пропонує розв’язати задачу і показує малюнок до неї на плакаті. Учні 4 групи сідають у центрі класу. Ця група спочатку читає вголос задачу, а потім обговорює її. За 3-5 хвилин вони повинні знайти спільне розв’язання. Учні, які знаходяться у зовнішньому колі, слухають, не втручаючись у хід обговорення. Після розв’язання задачі місце в «акваріумі» займає інша група і обговорює розв’язання задачі 8.

Задача 1. Діагональ.рівнобедреної трапеції перпендикулярна до бічної сторони, їх довжини відносяться як 4:3. Більша основа трапеції дорівнює 50 см. Знайти діагональ трапеції, сторону, до якої вона перпендикулярна та висоту трапеції (40 см, ЗО см, 24 см).

Задача 2. На березі річки росла тополя висотою 15 м. Буря зламала дерево на. висоті 6 м від землі так, що вершина опинилась на протилежному березі річки. Знайти ширину річки, якщо вважати, що стовбур тополі перпендикулярний до течії (6,7 м).

VII. Важливість теорем и Піфагора.

Вчитель. Теорема Піфагора — це, напевно, єдина теорема, яку пам’ятають усі учні. Ті, що добре вчилися, знають формулювання, доведення, а інші — назву. Та, напевно, кожен пам’ятає вислів: «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

«Літературознавці» (3-я група) про важливість теореми Піфаго-

Дата добавления: 2015-05-23