Числове інтегрування

У практичних розрахунках, у тому числі й у задачах механіки, нерідко виникає потреба в обчисленні визначених інтегралів:

(2.1)

де функція f (x) неперервна на відрізку [ a, b ], а вагова функція r(x) неперервна на інтервалі (a, b).

За числового інтегрування (ЧІ) найчастіше підінтегральну функцію f (x) замінюють на алгебричний поліном, причому за умови

Узявши на відрізку [ a, b ] єдиний вузол у квадратурній формулі (КФ) , тобто апроксимуючи підінтегральну функцію f (x) сталою f (), матимемо КФ середніх (ФС) .

Природно, що точність ФС для довільної f (x) можна підвищити, скориставшись детальнішою сіткою . Якщо (рівномірна сітка), матимемо

(2.2)

(2.3)

Наведені оцінки R справедливі, якщо неперервна

КФ трапецій (ФТ) одержують, замінивши функцію f (x) на відрізку [ a, b ] ІП першого степеня з вузлами що відповідає заміні кривої f (x) на січну. На рівномірній сітці вона стає такою:

(2.4)

Узагальнена КФ парабол (ФП) для рівномірної сітки має вигляд ()

(2.5)

Отже, ФП дає добру точність за відносно невеликого числа вузлів, якщо не дуже велика.

Для підвищення точності наведених КФ можна застосувати правило Рунге, якщо точне значення інтеграла F пов’язане з наближеним знайденим на сітці з кроком h:

Для формул середніх (трапецій) і парабол відповідно і

Перша формула Рунге для інтегрування — оцінка похибки ЧІ:

(2.6)

Тут — наближене значення F, знайдене на сітці з кроком gh.

Уточнене значення інтеграла знаходять за другою формулою Рунге:

(2.7)

Приклад 2.1. Скориставшись значенням підінтегральної функції ln(1+x) на відрізку [0, 1] f(0)=0, знайдемо за КФ середніх, трапецій та парабол наближені значення інтеграла .

Лістинг 2.1. Файл qfpr:

// qfpr

//Підінтегральна функція (ПФ)

function [f] =ff(x);

f = log(1+x)

endfunction;

// Обчислення інтеграла за різними КФ

function [trap,ser,par] = trapserpar(a,b,N);

h=(b-a)/N; // Крок сітки

// Формування значень ПФ для КФ середніх

for i=1:N

xi=a+(i-0.5)*h; y(i)=ff(xi)

end;

// КФ середніх

ser=0;

for i=1:N ser=ser+y(i); end;

ser=ser*h;

// Формування значень ПФ для КФ трапецій та парабол

N1=N+1;

for i=1:N1

xi=a+(i-1)*h; y(i)=ff(xi)

end;

// КФ трапецій

trap=(y(1)+y(N1))/2;

for i=2:N

trap=trap+y(i)

end;

trap=trap*h;

// КФ парабол

K=N/2; s1=y(1)+y(N1); s2=0; s4=0;

for i=2:K

s2=s2+y(i*2-1)

end;

for i=1:K

s4=s4+y(i*2)

end;

par=(s1+s2*2+s4*4)*h/3

endfunction;

// Уточнення КФ за правилом Рунге

function [Ftrap,Fser,Fpar] = qfpr(a,b,N);

[trap1,ser1,par1] = trapserpar(a,b,N);

[trap2,ser2,par2] = trapserpar(a,b,N*2);

Ftrap=trap1+(trap1-trap2)/3; Fser=ser1+(ser1-ser2)/3;

Fpar=par1+(par1-par2)/15

endfunction;

// main program

// N - парне

// Точне значення інтеграла F = 0.3862944

// Коментар фактичних параметрів функції qfpr

//[Ftrap,Fser,Fpar] = qfpr(a,b,N);

[Ftrap,Fser,Fpar] = qfpr(0,1,4)

Результати виконання qfpr

Fpar = 0.3862574 Fser = 0.3879113 Ftrap = 0.3830514

Дата добавления: 2015-05-23