Термодинаміка деформування

Розглянемо питання про те, як змінюється енергія тіла при його пружному деформуванні і як зв'язані тензори напружень і деформацій з термодинамічними функціями пружного тіла.

При відшукуванні змін енергії в процесі пружного деформування нам доведеться обчислювати роботу, зроблену внутрішніми напруженнями, що задаються тензором напружень. Внутрішні напруження в тілі обумовлені дією міжатомних сил. Радіус дії цих сил дуже мізерний - порядку міжатомних відстаней. Іншими словами, сили, що обумовлюють внутрішні напруження є близькодіючими, що передаються від однієї точки тіла тільки до найближчої з нею. Звідси випливає, що сили, які діють на будь-яку частину тіла з боку навколишніх її частин, діють тільки, безпосередньо через поверхню цієї частини. Це значить, що рівнодіюча внутрішніх сил, що діють усередині деякого об’єму V, дорівнює сумі напружень, що діють на поверхні, що обмежує цей об’єм:

(68)

Оскільки

і, отже,

(69)

У проекціях це співвідношення має вигляд:

(70)

Тепер переходимо до відшукання енергії пружно - деформованого тіла.

Якщо під розуміти силу, що діє на нескінченно малий одиничний елемент об’єму тіла (точку), то при зсуві цього нескінченно малого елемента об’єму, у процесі деформації, на (збільшення вектора деформації ) виконується робота

(71)

Права частина (71), зрозуміло, являє собою просто скалярний добуток вектора сили на вектор переміщення, виражений через проекції векторів. - робота внутрішніх напружень в одиниці об’єму тіла.

Для об’єму V робота внутрішніх напружень вийде інтегруванням по об’єму:

Очевидно,

Але

де - елемент поверхні, перпендикулярний k -ої осі декартової системи координат

Таким чином,

(72)

Розглянемо необмежене пружне тіло. На його вільній поверхні , і перший інтеграл у (72) зникає. Під знаком інтеграла по об’єму праворуч поміняємо місцями незалежні операції диференціювання, і варіювання:

Цей вираз можна, очевидно, записати у вигляді:

або, користаючись тим, що тензор напружень симетричний

Виходить,

(73)

Будемо вважати, що процес деформації відбувається настільки повільно, що в кожний момент часу в тілі встигає встановитись стан термодинамічної рівноваги відповідний тим зовнішнім умовам, в яких тіло знаходиться. Такий процес буде термодинамічно оберненим.

Нескінченно мала зміна внутрішньої енергії тіла дорівнює різниці отриманого даним тілом кількості тепла і зробленої силами внутрішніх напружень роботі d. Кількість тепла, отриманого тілом при оборотному процесі, дорівнює T_d, де Т - температура, S – ентропія. Користаючись формулою (73), одержуємо:

(74)

Знайдемо вираз для зміни вільної енергії тіла, що пружно деформується.

; ;

Звідси знаходимо вираз для компонентів тензора напружень:

(75)

Отже:

Дата добавления: 2015-05-24