Пружні властивості кристалів

Кристал є в принципі анізотропним середовищем, і тому усі фізичні співвідношення, що описують кристал, повинні формулюватися, узагалі говорячи, для анізотропного середовища. Случай ізотропності властивостей буде при цьому просто частковим випадком.

Узагальнений закон Гука зтвержує, що компоненти тензора деформації в даній точці тіла являються лінійними однорідними, функціями компонентів тензора напружень у тій же точці тіла (і навпаки). Як ми бачили вище, узагальнений закон Гука випливає з загальних принципів термодинаміки.

У випадку анізотропного середовища узагальнений закон Гука, мабуть, може бути виражений наступним чином:

(101)

Величини називаються постійними - пружності. Число цих величин дорівнює 81, і, як не важко переконатися, вони являють собою компоненти деякого тензора четвертого рангу.

Дійсно 81 величина являє собою тензор 4 рангу, якщо кожна з цих величин при перетворенні координат з матрицею перетворення перетвориться у величину , за законом:

(102)

Оскільки величини утворюють тензор 2 рангу, то

(103)

Скориставшись (101) одержуємо:

(104)

З огляду на те, що тензор напружень також є тензором 2 рангу, можемо записати:

(105)

Підставляючи останній вираз в (104) знаходимо

(106)

З іншого боку, у "штрихованій" системі координат узагальнений закон Гука для анізотропного тіла повинний мати вигляд:

(107)

Якщо в "нештрихованій" координатній системі він мав вигляд (101).

Порівнюючи (107) з (106), знаходимо:

(108)

Таким чином, постійні пружності утворять тензор 4 рангу.

Якщо компоненти тензора деформацій є однорідними лінійними функціями компонентів тензора напружень, то і навпаки - компоненти тензора напружень є лінійними однорідними функціями компонентів тензора деформацій:

(109)

Величини утворюють тензор 4 рангу (у цьому можна переконатися, повторивши приведені вище міркування стосовно до величин ); цей тензор 4 рангу називається тензором модулів пружності.

Тензори 4 рангу і зв'язують законами (101) і (109) два симетричних тензори 2 рангу. З цього витікає, що без обмеження спільності можна покласти:

(110)

(111)

Дійсно, у праві частини формул (101) входять добутки величин на величини . Оскільки , у правій частині кожної формули з групи (101) члени можна згрупувати попарно, і розглянуті суми представити у вигляді доданків такого типу:

(112)

Особливість співвідношень, що виявляється при цьому, (101) полягає в тому , що величини входять у формули узагальненого закону лише у вигляді суми

(113)

Коефіцієнтом при цій сумі є компонент тензора напружень (чи ). Оскільки фізично діючою величиною є розглянута сума , можна, не, зменшуючи спільності міркувань вважати, що ця сума складається з двох рівних доданків, тобто прийняти, що

Врахуємо, тепер, що тензор деформацій також симетричний, тобто, що

З огляду на те, що ліві частини, цих двох останніх співвідношень рівні, і порівнюючи коефіцієнти при однакових , знаходимо:

(114)

Повторимо ці міркування для компонентів тензора модулів пружності, одержуємо:

(115)

Таким чином, в силу симетрії тензорів напружень і деформацій, лише 36 з 81 компонента тензора постійних пружності і 36 з 81 компонента тензора модулів пружності є незалежними. Таким чином, пружні властивості кристалів задаються в загальному випадку 36 величинами, 36 величин можна записати у вигляді квадратної таблиці - квадратної матриці. Таким чином, компоненти тензора 4 рангу не можна задати квадратною матрицею, однак, у тому випадку, коли цей тензор 4 рангу являє собою тензор постійних чи пружності тензор пружних модулів, його компоненти можуть бути задані квадратною матрицею 6 рангу. З цією метою введемо наступні позначення для компонентів тензора напружень і компонент тензора деформацій:

; мнемонічне правило

(116)

(117)

При такій зміні індексації два індекси заміняються одним, відповідно до наступної схеми:

Подвійна індексація 11 22 33 23, 32 31, 13 12, 21 (118)

Одинарна індексація 1 2 3 4 5 6

Цих правил відповідності при переході від однієї системи індексації до інший досить для запису узагальненого закону Гука для анізотропного тіла у випадку, коли напруження виражаються через деформації .

У випадку, коли деформації виражаються через напруження, величини , виходять з по якому ж правилу, крім тих випадків, коли р і q рівні 1, 2 чи 3, одержуємо

Величини називаються постійними пружності, а - модулями пружності.

Зі зробленого вище ясно, що у формули, що виражають закон Гука, а також у виразі для вільної енергії деформованого кристала в загальному випадку входить 21 незалежна чи величина .

Однак у силу властивостей симетрії кристалів деякі з цих величин звертаються в нуль, а інші виявляються зв'язаними визначеними співвідношеннями. Користуючись докладно розглянутими вище прийомами, можна показати, що для кристалів гексагональної системи число таких незалежних величин дорівнює п'яти, а для кристалів кубічної системи воно зменшується до трьох. Цьому відповідають наступні матриці пружних констант (ми не виписуємо елементи матриць, розташованих знизу від головних діагоналей, тому що вони рівні симетрично розташованим елементам).

Загальний випадок:

Для кристалів гексагональної системи:

Для кристалів кубічної системи:

Такий вигляд матриць тензорів пружних властивостей значно полегшує розгляд ряду фізичних властивостей кристалів у рамках континуального наближення, а також виявляється дуже корисним при проведенні багатьох інженерних розрахунків. Ці питання розглядаються у відповідних розділах підручників по фізиці твердого тіла, спеціальних монографіях і посібниках.

Дата добавления: 2015-05-24