Нехай маємо послідовність

(1.1)

елементами якої є точки метричного простору Х.

Означення 1.5. Точка , метричного простору Х, називається границею послідовності (1.1), якщо .

Дане означення, очевидно еквівалентне наступному:

Означення 1.5.* Точка є границею послідовності (1.1), якщо $ NÎ N, таке, що для всіх n≥N, виконується нерівність .

Якщо є границею послідовності (1.1), то це записують так: .

Як ми бачимо, означення границі послідовності в метричному просторі, аналогічне означенню границі послідовності дійсних чисел (Якщо , то ).

Якщо , то геометрично це означає, що який би ми окіл точки не взяли, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності попадуть в цей окіл.

Означення 1.6. Послідовність, яка має границю, називається збіжною.

Теорема 1.1. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Доведення. Нехай і . Поскільки ,коли , то . Зачить .

Теорема 1.2. Якщо послідовність має границю, , то і будь-яка її підпослідовність має границю .

Доведення. Нехай . Тоді , на основі властивості границі для послідовностей дійсних чисел , де – підпослідовність послідовності .

Теорема 1.3. Якщо послідовність має границю, товона – обмежена.

Доведення. Нехай . Візьмемо , тоді існує натуральне число N таке, що при всіх виконується нерівність:

(1.2).

Нерівність може не виконуватись тільки для перших N -1 елементів цієї послідовності. Якщо за r візьмемо , то для всіх n виконується нерівність: .

Означення1.7. Нехай маємо послідовність елементів метричного простору Х. Дана послідовність називається фундаментальною, якщо $ NÎ N таке, що при всіх n≥N, m≥N виконується нерівність .

Tеорема 1.4. Якщо послідовність має границю, то вона – фундаментальна.

Дана теорема доводиться аналогічно, як і для послідовностей дійсних чисел.

Обернене твердження, як це було для дійсних чисел, в довільному метричному просторі не вірне. Дійсно, розглянемо простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між х і у визначимо рівністю . Послідовність , nÎ N належить цьому простору, вона – фундаментальна, але границі не має ( ірраціональне число).

Лема 1.1. Для будь-яких x, y, z, u з метричного простору Х правильна нерівність:

(1.3).

Доведення. За аксіомою трикутника маємо

,

звідси

(1.4).

Помінявши місцями x i z, y i u, одержимо:

(1.5).

З (1.4) і (1.5) випливає (1.3). Лему доведено.

Теорема 1.5. Коли , , то .

Доведення. За лемою 1.1 , коли . Теорему доведено.

Нехай маємо лінійний нормований простір. Тоді в цьому просторі можемо ввести метрику, поклавши . Збіжність в метриці породженій нормою, називають збіжністю по нормі.

Теорема 1.6. Якщо послідовність фундаментальна і існує підпослідовність цієї послідовності, яка збігається до , то і сама послідовність збігається до .

Доведення. Нехай фундаментальна послідовність, – збіжна підпослідовність, . Візьмемо . Внаслідок фундаментальності , існує натуральне число N ₁ таке, що при , виконується нерівність:

Дата добавления: 2015-05-24