Непрерывность функции. Точки разрыва функции

Ответы к упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 1. Найти область определения функций:

1. ; 2. .

Решение.

1. Область определения функции найдем из системы неравенств откуда или .

2. Область определения функции найдем из системы неравенств откуда и С помощью числовой оси находим, что .

ПРИМЕР 2. Найти область значений функций:

1. .

Решение.

Выразим x через y. Получим функцию , заданную неявно квадратным уравнением Область определения этой функции найдется из условия, что дискриминант

, т. е. или . Таким образом, Отсюда также следует, что функция является ограниченной.

2. .

Решение.

Преобразуем функцию

Отсюда видно, что область значений функции

Найти область определения функций:

2.1. .

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

Найти область значений функций:

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. множество вещественных чисел 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. . 2.19. 2.20. 2.21. 2.22. 2.23. 2.24. 2.25.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 Функция f(x) непрерывна в точке x₀ , если ее предел в точке x₀ равен f(x₀) (значению функции в данной точке), т. е.

.

Иначе говоря, функция удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в некоторой окрестности точки (т.е. существует f (x ₀));

2) имеет конечный предел ;

3) .

Так любая элементарная функция непрерывна в каждой точке области ее определения.

Пример непрерывной функции:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

0 x₀-D x₀ x₀+D x

Рис. 2.1

Функция, не являющаяся непрерывной в некоторой точке, называется разрывной в этой точке (имеет или терпит разрыв в точке). Сама точка называется точкой разрыва функции.

Пример разрывной функции:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

x₀ x

Рис. 2.2

Различают точки разрыва второго и первого рода. Точки разрыва первого рода могут быть точками устранимого разрыва (в точке существуют оба конечных односторонних предела, равные между собой, но не равные значению функции) и неустранимого разрыва (конечные односторонние пределы существуют, но не равны между собой). В точках разрыва второго рода хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Дата добавления: 2015-05-09