Четность и нечетность

Ответы к упражнениям

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать непрерывность функции в точке x₀=1 или установить характер точки разрыва в этой точке:

2.26. ;

2.27. ;

2.28. ;

2.29.

При каких значениях А и В функция непрерывна?

2.30.

2.31.

Исследовать на непрерывность и разрыв функции

2.32.

2.33.

2.34.

2.35.

2.36.

2.37.

2.38.

2.26. x=1 – точка устранимого разрыва первого рода. 2.27. Непрерывная. 2.28. х=1 – точка разрыва второго рода. 2.29. x=1 – точка разрыва второго рода. 2.30. А=-1, В=1. 2.31. А=-2, В=0. 2.32. функция непрерывна во всех точках числовой оси, кроме х=1 (т. разрыва 2 рода). 2.33. функция непрерывна во всех точках числовой оси, кроме х=0 (неустранимая т. разрыва 1 рода). 2.34. функция непрерывна во всех точках числовой оси, кроме х=2 (неустранимая т. разрыва 1 рода) 2.35. х=1- т. устранимого разрыва; х=-2 – т. разрыва 2 рода. 2.36. х=0 – т. разрыва 2 рода. 2.37. х=0 – т. разрыва 2 рода. 2.38. х=0 - т. устранимого разрыва.

Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений x и – x из области определения f(-x)=f(x) и нечетной, если f(-x)=-f(x). В противном случае функция y=f(x) называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Заметим, что если функция y=f(x) четная или нечетная, то об­ласть ее определения симметрична относительно центра О. Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а произведение и частное нечетных функций - функция четная.

ПРИМЕР. Функция y= (рис. 2.3) является четной (так как f(-x)= = и f(-x)=f(x), а функция y= (рис. 2.8) – нечетной (так как f(-x)= = и f(-x)= -f(x)).

В то же время, функция y= + (рис. 2.9) является функцией общего вида, так как f(-x) = , f(-x) f(x) и f(-x) -f(x).

Рис. 2.8 Рис. 2.9

ПРИМЕР 1. Выяснить четность (нечетность функций):

1. ; 2. ; 3. .

Решение.

1. Так как то данная функция нечетная;

2. Так как то данная функция четная;

3. Так как и , то данная функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

Дата добавления: 2015-05-09