Теорема

Ознака мимобіжності прямих

Доведення

Теорема.

Ознака паралельності прямих

Є три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою. Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії.

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Нехай b║a, с║а. Доведемо, що b║с. Прямі b і с не можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямій а, що суперечило б теоремі 2.1.

Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні (рис. 36). Через паралельні прямі b і а, с і a проведемо площини γ і β, а через пряму b і точку С прямої с — площину α. Нехай площини α і β перетинаються по прямій c1. Прямі а, с, c1 лежать в одній площині β, причому с║а. Тому пряма с1, яка перетинає с, перетинає пряму a в деякій точці А. Прямі c1 і а лежать відповідно у площинах α і γ, тому їх спільна точка А належить цим площинам, а отже, і їх спільній прямій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Отже, прямі b і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимобіжними. Таким чином, b║с.

Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.

Доведення

Нехай пряма а лежить у площині α, а пряма b перетинає цю площину в точці А такій, що А α (рис. 38). Доведемо, що прямі а і b мимобіжні. Припустимо, що прямі a і b не мимобіжні, тобто вони лежать в деякій площині β. Площина β проходить через пряму а і точку А і тому збігається з площиною α. Таким чином, пряма b лежить в площині α, що суперечить умові. Отже, прямі a і b не лежать в одній площині, що і треба було довести.

Дата добавления: 2015-05-09