Канонические уравнения прямой

Условие перпендикулярности двух прямых

Условие параллельности двух прямых

74. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть М ₁(x ₁, y ₁, z ₁) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

75. Общая постановка задачи оптимизации.

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ^*, который доставляет минимальное значение f(χ^*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

1. Допустимое множество — множество ;

2. Целевую функцию — отображение ;

3. Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу означает одно из:

1. Показать, что .

2. Показать, что целевая функция не ограничена снизу.

3. Найти .

4. Если , то найти .

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x₀ таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

76. Классическая задача на условный экстремум. Необходимое и достаточные условия условного экстремума.

Функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) максимум, если существует такая окрестность точки Р₀, что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, выполняется неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y).

Соответственно, функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) минимум, если существует такая окрестность точки Р₀, что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, выполняется неравенство f(x₀,y₀)<f(x,y).

Необходимый признак существования экстремума:

Для нахождения экстремумов функции z =f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z =f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

(1)

Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M₀ – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M0,

Если D>0, то экстремум в точке M0 есть, при этом M0 – точка минимума при A>0 и M0 – точка максимума при A<0. Если D<0, то экстремума в точке M0 нет.

При D=0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M0, мы не будем рассматривать этот случай.

Условный экстремум:

Функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) условный максимум, если существует такая окрестность точки Р₀, что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, удовлетворяющих уравнению связи φ(x,y)=0, выполняется неравенство f(x₀,y₀)>f(x,y).

Соответственно, функция z=f(x,y) имеет в точке Р₀ (x₀,y₀) условный минимум, если существует такая окрестность точки Р₀, что для всех точек Р (x,y) этой окрестности, отличных от точки Р₀, удовлетворяющих уравнению связи φ(x,y)=0 выполняется неравенство f(x₀,y₀)<f(x,y).

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Логранжа.

Координаты экстремальной точки должны удовлетворять 3 уравнениям:

Из этой системы определяются критические точки и соответствующие значения λ.

Достаточным условием экстремума является знакопостоянство d²L(x,y,λ) в критической точке.

77. Метод множителей Лагранжа для решения классической задачи на условный экстремум.

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции f (x), где , относительно m ограничений , i меняется от единицы до m. Описание метода

· Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций , взятыми с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — λ _i:

где .

· Составим систему из n + m уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по x_j и λ _i.

· Если полученная система имеет решение относительно параметров x ' _j и λ' _i, тогда точка x ' может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

Дата добавления: 2015-05-26