Общие положения. Основные понятия и определения теории эксперимента

Основные понятия и определения теории эксперимента

Планирование экспериментов

Большинство научных исследований связано с экспериментом. Он проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях и участках, в клиниках и т. д. Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Он может непосредственно проводиться на объекте или на его модели. Модель обычно отличается от объекта масштабом, а иногда природой.

Как вы считаете, можно ли поставить эксперимент на абстрактной математической модели?

Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент на объекте может быть заменен экспериментом на имитационной модели. В последнее время наряду с физическими моделями все большее распространение получают абстрактные математические модели. Можно получать новые сведения об объекте, экспериментируя на модели, если она достаточно точно описывает объект. Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако возникает вопрос, насколько эффективно он используется. Джон Бернал, например, отмечал, что научные исследования организуются и проводятся настолько хаотично, что их коэффициент полезного действия может быть оценен величиной порядка 2%. Для того чтобы повысить эффективность исследований, требуется нечто совершенно новое. Одним из возможных путей является применение математических методов, построение математической теории планирования эксперимента.

Под экспериментом обычно понимают научную постановку опытов с исследуемыми объектами, явлениями или процессами и наблюдение за их характеристиками в строго учитываемых условиях.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее:

стремление к минимизации общего числа опытов;

одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам — алгоритмам;

использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны. Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических моделей (например, кинетических), выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм состав—свойство — вот примеры задач, при решении которых применяется планирование

эксперимента. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении — планирование эксперимента.

В случае применения вычислительных имитационных экспериментов с использованием ЭВМ для исследования свойств систем, требуется предварительная разработка и отладка имитационной модели системы. При ее наличии основная проблема заключается в том, как за конечное время получить достоверную и точную информацию о свойствах системы. Решение этой проблемы немыслимо без планирования имитационного эксперимента. Попутно решают и частные задачи, например, такие как:

снижение затрат машинного времени;

обеспечение точности и достоверности получаемых результатов;

проверка адекватности модели исследуемой системе.

В ходе планирования разрабатывают план имитационного эксперимента, который определяет объем и порядок проведения вычислений на ЭВМ, а также приемы накопления и статистической обработки результатов. Таким образом, при машинном моделировании рационально планировать и проектировать не только саму модельсистемы, но и процесс ее использования, т. е. проведение с ней экспериментов с использованием инструментальной ЭВМ.

При планировании имитационного эксперимента первостепенное значение приобретают:

простота повторения условий эксперимента на ЭВМ с моделью системы;

возможность управления экспериментом с моделью, включая его прерывание и возобновление;

легкость варьирования условий проведения эксперимента (воздействий внешней среды);

наличие корреляции между последовательностью точек в процессе

моделирования;

трудности, связанные с определением интервала моделирования T.

К преимуществам машинных экспериментов относят:

- возможность полного воспроизведения условий эксперимента с моделью исследуемой системы для сравнения двух и более альтернатив;

- простота прерывания и возобновления машинных экспериментов, необходимых для промежуточного анализа результатов и принятия решений об его дальнейшем ходе.

Недостатком машинных экспериментов является наличие корреляции в

выходных последовательностях, т е. результаты одних наблюдений зависят от результатов одного или нескольких предыдущих, и поэтому в них содержится меньше информации, чем в независимых наблюдениях.

Поиск оптимальных условий, как в натурном, так и в модельном эксперименте является одной из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные в некотором смысле) условия его реализации.

Пусть, например, у специалиста возникла гипотеза о том, что при взаимодействии двух веществ должен получаться некоторый интересующий его продукт. Чтобы убедиться в правильности своей гипотезы, он начинает проводить эксперимент. Возможно, что ему повезло, и он получил требуемый продукт. Однако выход продукта весьма низок, скажем, 2%. Вот тут-то и возникает задача выбора оптимальных условий. Требуется так подобрать концентрации реагирующих веществ, температуру, давление, время реакции и другие факторы, чтобы сделать выход возможно более близким к 100%.

В данном примере находятся условия проведения процесса, оптимальные в смысле максимизации выхода требуемого продукта. Но это далеко не единственно возможная постановка задачи. Найденные условия оказались бы другими, если бы ставилась, например, цель минимизации себестоимости продукта или минимизации количества вредных примесей. Следует подчеркнуть, что всегда необходимо четко формулировать, в каком смысле условия должны быть оптимальными. Этим определяется выбор цели исследования. Точная формулировка цели в значительной мере определяет успех исследования.

Задачи, сформулированные аналогичным образом, называются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптимизацией. Выбор оптимального состава многокомпонентных смесей или сплавов, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции, снижение затрат на ее получение — вот примеры задач оптимизации.

Чтобы продвинуться дальше, нам придется определить еще ряд важных понятий, первое из которых — объект исследования. Для описания объекта исследования удобно пользоваться моделью черного ящика, который схематически изображен на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Схема черного ящика

Стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования (параметров оптимизации), их обозначают буквой yj, j=1,2,…,m. В литературе встречаются и другие названия: критерий оптимизации, целевая функция, выход «черного ящика» и т. д. Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение черного ящика. Все способы такого воздействия обозначают буквой xi, i=1,2,…,k и называем факторами. Их называют также входами «черного ящика».

При решении задачи будем использовать математические модели объекта исследования. Под математической моделью мы понимаем уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде можно записать так:

.

Такая функция называется функцией реакции (отклика). Ниже будет рассмотрен вопрос о том, как эту функцию выбрать и построить. А сейчас важно понять, как получаются условия проведения опытов в том эксперименте, который мы собираемся провести. Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения будем называть уровнями. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много значений.

Однако на практике точность, с которой устанавливается некоторое значение, не беспредельна. Поэтому будем считать, что всякий фактор имеет определенное число дискретных уровней. Это соглашение существенно облегчает построение «черного ящика» и эксперимента, а также упрощает оценку их сложности.

Фиксированный набор уровней факторов (т. е. установление каждого фактора на некоторый уровень)определяет одно из возможных состояний черного ящика. Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояний, то мы получим полное множество различных состояний данного «ящика». Одновременно это будет число возможных различных опытов.

Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов L (если оно для всех факторов одинаково) возвести в степень числа факторов k: . Поупражняйтесь в подсчете числа различных состояний для разных случаев. Это вам пригодится в дальнейшем. Кроме того, реальные объекты, с которыми мы сталкиваемся ежедневно, обладают огромной сложностью. Так, на первый взгляд простая система с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний, а для десяти факторов на четырех уровнях их уже свыше миллиона! В этих условиях мы просто вынуждены отказаться от таких экспериментов, которые включают все возможные опыты: перебор слишком велик.

Тогда возникает вопрос. Сколько и каких опытов надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу? Здесь-то и приходит на помощь планирование эксперимента. Однако нужно иметь в виду, что при планировании эксперимента не безразлично, какими свойствами обладает объект исследования.

Укажем два основных требования, с которыми приходится считаться.

Прежде всего, существенно, воспроизводятся ли на объекте результаты эксперимента.

Выберем некоторые уровни для всех факторов и в этих условиях проведем эксперимент. Затем повторим его несколько раз через неравные промежутки времени и сравним значения параметра оптимизации. Разброс этих значений характеризует воспроизводимость результатов. Если он не превышает некоторой заранее заданной величины (наших требований к точности эксперимента), то объект удовлетворяет требованию воспроизводимости результатов, а если превышает, то не удовлетворяет этому требованию. Мы будем рассматривать только такие объекты, для которых требование воспроизводимости выполняется.

Планирование эксперимента предполагает активное вмешательство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Поэтому такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. Это и есть второе требование к объекту исследования.

На практике нет абсолютно управляемых объектов. На реальный объект обычно действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость эксперимента и являются причиной ее нарушения. Если требования воспроизводимости не выполняются, приходится обращаться к активно-пассивному эксперименту. Возможно, плохая воспроизводимость объясняется действием фактора, систематически изменяющегося (дрейфующего) во времени. Тогда нужно обращаться к специальным методам планирования.

Наконец, возможно, что все факторы неуправляемы. В этом случае возникает задача установления связи между параметром оптимизации и факторами по результатам наблюдений за поведением объекта, или, как говорят, по результатам пассивного эксперимента.

Таким образом, мы познакомились с основными определениями, которые используются в теории планирования экстремального эксперимента. Прежде чем приступать к эксперименту, необходимо однозначно и непротиворечиво сформулировать его цель и выбрать подходящую количественную характеристику этой цели, которую называют параметром оптимизации. Понятие «объект исследования» требует точного формального определения. Для такого определения подходит модель объекта в виде «черного ящика». Экспериментатор должен уметь формулировать свою задачу в терминах «черного ящика».

Входы «черного ящика» называются факторами. Каждый фактор может принимать некоторое определенное число различных значений, называемых уровнями. Сочетание определенных уровней всех факторов определяет возможное состояние «черного ящика» и условия одного из возможных опытов. Совокупность всех различных возможных состояний определяет сложность «черного ящика» и общее число возможных опытов. Результаты эксперимента используются для получения математической модели объекта исследования, которая представляет собой уравнение, связывающее параметр оптимизации и факторы.

Такое уравнение называется функцией отклика. Использование для получения модели всех возможных опытов приводит к абсурдно большим экспериментам. Задача выбора необходимых для эксперимента опытов, методов математической обработки их результатов и принятия решений — это и есть задача планирования эксперимента. Частный случай этой задачи —

планирование экстремального эксперимента, т.е. эксперимента, поставленного с целью поиска оптимальных условий функционирования объекта. Планирование экстремального эксперимента — метод выбора минимального количества опытов, необходимых для отыскания оптимальных условий.

Дата добавления: 2015-05-26