Статистические показатели вариабельности

Средняя арифметическая величина отражает средний уровень признака в данной совокупности, но она недоста­точна для ее характеристики, так как главной особенностью любой совокуп­ности является наличие вариабельности/ признаков. Математическая статистика пред­лагает много различных показателей для оценки вариабельности признаков. Рассмотрим те из них, которые приме­няются при статистической обработке антропометрических материалов с це­лью построения размерной типологии.

Указать на разницу в степени из­менчивости вариационных рядов в не­которой степени может размах вариа­ций, определяемый расстоянием между минимальным и максимальным значе­ниями признака в выборке. Однако это­го недостаточно, так как, во-первых, крайние значения признака меняются с изменением численности выборки, во-вторых, в одних и тех же пределах вариа­ции отдельные значения признака встре­чаются с различной частотой (рис. 3.2).

Изменчивость признака в выборке может быть оценена и квантильным размахом (Х-к в а н т и л ь —это значение признака, которое делит всю совокупность, принятую за 1. так, что х членов имеют значения меньшие, чем величина признака, а 1-х — большие).

Квантили, которые делят совокуп­ность на четыре равные части, носят название квартилей. Первый квар­тиль отделяет 1/4 совокупности, второй квартиль делит совокупность на две рав­ные части (это не что иное, как медиа­на), третий — отделяет 3/4 совокупнос­ти. Первый и третий носят название нижнего и верхнего квартиля.

В последнее время во многих рабо­тах употребляются квантили, носящие название перцентилей. Перцентиль — значение признака, отделяющее опреде­ленную долю совокупности, выражен­ную в целых процентах (1,2.....99,100%).

Квантильный размах определяется как разница между двумя квантилями:

При сильном варьировании при­знака квантили будут располагаться далеко друг от друга, при малом варьи­ровании — близко. В известной мере квантильный размах является показате­лем изменчивости. Однако надежность квантилей, так же как и размаха вариа­ции, в значительной степени зависит от численности выборки.

Лучшей оценкой, характеризую­щей степень изменчивости признака в выборке, считается среднее квадра­тичное отклонение значений признака от средней арифметической вели­чины [3-5], так как его величина не за­висит от численности выборки. Кроме того, в отличие от других рассмотрен­ных показателей вариабельности сред­нее квадратичное отклонение учитыва­ет как число вариантов признака (раз­мах изменчивости), гак и частоту, с ко­торой встречаются различные значения признака. Чем больше размах изменчи­вости признака, тем больше его среднее квадратичное отклонение.

Как и средняя арифметическая ве­личина, среднее квадратичное отклоне­ние для выборки и генеральной совокуп­ности обозначается разными символа­ми: в первом случае — латинской бук­вой s, во втором — греческой буквой о.

Для выборки среднее квадратич­ное отклонение определяют следующим образом:

1) вычисляют отклонение каждого зна­чения признака от средней арифметичес­кой величины;

2) каждое отклонение возводят в квад­рат и вычисляют среднее значение всех квадратов;

3) из среднего значения всех квадратов извлекают квадратный корень.

Например, возьмем ряд из пяти чисел: 8, 9,10, 11, 12. Их средняя арифметическая величина равна 10, отклонения от средней арифметической соответственно: -2, -1, 0, I. 2, а квадраты отклонений 4, 1, 0, 1, 4. Среднее значение квадратов отклонений равно: 10/5 = 2. Следовательно, среднее квадратичное отклонение равно \[2.

Общая формула* для расчета сред­него квадратичного отклонения имеет вид где ∑ (x₁ - х^-)2 — сумма квадратов отклоне­ний всех значений признака от средней арифметической величины в данной выбор­ке; п — общая численность выборки.

Квадратный корень берут с поло­жительным знаком. Подкоренное выра­жение называется дисперсией, или рассеянием признака.

Среднее квадратичное отклонение и средняя арифметическая величина представляют собой именованные чис­ла и выражаются в одних и тех же еди­ницах измерения.

Основные параметры вариацион­ного ряда — средняя арифметическая величина и среднее квадратичное откло­нение (х и s) — по общим формулам, как правило, не вычисляются. Для этого имеются другие более удобные и сокра­щенные приемы. Наилучшим для вычис­ления параметров вариационного ряда является способ моментов

Дата добавления: 2015-06-04