Методика розв’язання задач

Контрольні запитання

Зауважимо що при розв’язанні задач напрями реакцій обираються довільно. Дійсний напрям реакцій визначається після розв’язку системи рівнянь рівноваги: знак ”+” буде свідчити про те, що ми вгадали напрям реакції, знак ”–” – про те, що реакція спрямована у протилежному напрямі.

1. Що таке в’язі? Які типи в’язей ви знаєте?

2. Сформулюйте аксіому про звільнення від в’язей.

3. Вкажіть реакції гладкої поверхні.

4. Вкажіть реакції шарнірно-нерухомої опори.

5. Вкажіть реакції жорсткого закріплення.

6. Вкажіть реакції шарнірно-рухомої опори.

7. Вкажіть реакції невагомого стрижня на шарнірах.

8. Які реакції виникають у напівзащемленій опорі?

9. Що таке плоска система сил? Запишіть її умови рівноваги.

10. Що таке плоска система паралельних сил? Запишіть її умови рівноваги.

11. Скільки невідомих реакцій можна визначити для плоскої системи сил?

1. Вибираємо зручну систему координат (як правило, горизонтальну вісь та вертикальну вісь ).

2. Звільняємо конструкцію від в’язів, а їхню дію замінюємо реакціями в’язів відповідно до таблиці 4.1.

3. Розкладаємо активні сили та реакції на складові вздовж обраних осей.

4. Складаємо рівняння рівноваги:

; ; .

Останнє рівняння записуємо відносно довільної точки, використовуючи теорему Варіньона. Щоб спростити останнє рівняння, вибираємо ту точку, де перетинається найбільша кількість невідомих векторів сил.

5. Розв’язуємо систему рівнянь та визначаємо невідомі.

6. Перевіряємо отримані результати.

Приклад 1. Жорстка невагома конструкція, усі елементи якої лежать у площині (рис. 4.1), знаходиться у вертикальній площині і складається з елементів, довжиною = 0,5 м кожний. Конструкція закріплена в точці нерухомим шарніром та в точці невагомим стрижнем з шарнірами на кінцях.

Визначити реакції опор в точках і , якщо на конструкцію діють сили = 80 Н та = 100 Н, які прикладені у вказаних на рисунку точках, під кутами = 60° та = 45° до неї відповідно та момент пари зовнішніх сил = 60 Н·м.

Розв’язання. Напрями осей декартової системи координат спрямуємо паралельно елементам конструкції, оскільки вона складається з горизонтальних та вертикальних елементів (рис. 4.2).

Розглянемо рівновагу даної конструкції під дією заданих сил , та моменту пари . В’язями нашої конструкції є циліндричний шарнір та стрижень з шарнірами на кінцях. Звільняємо конструкцію від в’язів, дію опор замінюємо на їхні реакції: тоді в точці реакція циліндричного шарніра визначається двома складовими і , а реакція стрижня в точці спрямована вздовж лінії, яка з’єднує шарніри (дивись табл.. 4.1). Напрями реакцій виберемо умовно, бо дійсні напрями визначаються після розв’язування системи рівнянь
рівноваги.

Запишемо рівняння рівноваги для отриманої плоскої довільної системи сил згідно з (4.1) – (4.3). Ці рівняння для нашого випадку приймуть вигляд:

, , (1)

, . (2)

Рівняння для моменту сил запишемо відносно точки , оскільки в цій точці перетинаються лінії дій двох невідомих реакцій ( і )

,

. (3)

Звернемо увагу на те, що лінія дії сили в нашому прикладі перетинає точку , тому

0.

Таким чином ми отримали систему трьох рівнянь з трьома невідомими.

Рівняння (3) містить одну невідому величину – . Тому, підставляючи в нього вихідні дані задачі, отримаємо

,

Н.

Підставимо цей результат в (1) і (2) та знайдемо та :

,

Н,

,

Н.

Отже, напрями складових реакції циліндричного шарніра та відповідають тому, що зображено на рис. 4.2. Що стосується реакції , то знак „–” свідчить про те, що реальний напрям ми не вгадали – ця реакція спрямована в сторону протилежну нарисованому. Оскільки , модуль реакції в точці обчислимо за формулою

= 159,7 Н.

Перевіримо отримані результати. Рівняння (4.3) можна трактувати як рівність нулю суми моментів усіх сил, що лежать в площини відносно осі , яка перпендикулярна площині сил, та записати у вигляді

= = 0.

Якщо в площині дії сил зафіксувати напрями осей та , то положення початку координатної системи не змінить рівнянь (4.1) – (4.2). Тому, для перевірки отриманих результатів, записують формулу (4.3) відносно іншої точки площини (не ), підставляють в нове рівняння знайдені величини та перевіряють чи дорівнює алгебраїчна сума моментів нулю.

Для перевірки наших результатів запишемо рівняння (4.3) відносно точки , враховуючи те, що напрям реакції протилежний тому, що зображено на рисунку 4.2

,

.

Підставимо отримані результати та отримаємо

Н∙м.

Отож, сума моментів всіх сил відносно іншої довільної точки дорівнює нулю, що свідчить про правильність вихідних рівнянь та розрахунків.

Відповідь: = 159,7 Н, = -22,9 Н.

Приклад 2. Жорстка невагома конструкція, усі елементи якої лежать у площині (рис. 4.3), знаходиться у вертикальній площині і складається з елементів довжиною = 0,8 м кожний. Конструкція закріплена в точці напівзащемленою опорою та рухомим шарніром у точці .

Визначити реакції опор в точках і , якщо на конструкцію діють сили
= 100 Н та = 60 Н, які прикладені у точках С та D, під кутами = 45° та = 30° до неї відповідно та момент пари зовнішніх сил = 50 Н·м.

Розв’язання. Напрями осей декартової системи координат спрямуємо паралельно елементам конструкції, оскільки вона складається з горизонтальних та вертикальних елементів (рис. 4.4).

Розглянемо рівновагу даної конструкції під дією заданих сил , та моменту пари сил . В’язями нашої конструкції є напівзащемлена опора в точці та шарнірно-рухома опора в точці .

Звільняємо конструкцію від в’язів, дію опор замінюємо на їхні реакції: тоді в точці реакція напівзащемлення буде направлена горизонтально та виникне момент защемлення , а реакція шарнірно-рухомої опори в точці напрямлена перпендикулярно поверхні на якій знаходиться опора (дивись табл. 4.1). Напрями реакцій виберемо умовно (рис. 4.4), бо справжні напрями визначаються після розв’язування рівнянь рівноваги.

Запишемо рівняння рівноваги для отриманої плоскої довільної системи сил згідно з (4.1) – (4.3). Ці рівняння для нашого випадку приймають вигляд:

, , (1)

, . (2)

Рівняння для моменту сил запишемо відносно точки оскільки такий вибір виключає з рівняння невідому реакцію

,

. (3)

Таким чином ми отримали систему трьох рівнянь з трьома невідомими. З рівняння (2)

,

знаходимо Н.

Підставимо цей результат в рівняння (1)

,

і визначимо Н.

Підстановка даних задачі та в рівняння (3) дає

,

звідки знаходимо

Н·м.

Знаки „–” у реакціях та свідчать про те, що реальний напрям цих реакцій протилежний тому, що зображено на рисунку 4.4.

Знак „–” в моменті защемлення вказує на те, що направлений протилежно напряму обертання, який зображений на рисунку 4.4.

Перевіримо отримані результати.

Для перевірки наших результатів запишемо рівняння (3) відносно точки , враховуючи те, що напрями реакцій , та напрям обертання протилежні тому, що зображено на рисунку 4.4

,

.

Підставимо отримані результати та отримаємо

Н,

з точністю проведених розрахунків.

Сума моментів всіх сил відносно іншої довільної точки дорівнює нулю, що свідчить про правильність вихідних рівнянь та розрахунків.

Відповідь: = -146,2 Н, = - 47 Н, = - 602,9 Н·м.

Задача С.6. Визначення реакцій опор плоскої конструкції

Жорстка невагома конструкція знаходиться у вертикальній площині, складається з елементів кожний довжиною метрів. На конструкцію діють сили (Н) та (Н) та момент пари зовнішніх сил (Н·м).

Визначити реакції опор конструкції. Номер варіанту відповідає номеру рисунку, а дані приведені в таблиці С.6.

5
21

Таблиця С.6 – вихідні дані для розв’язання задачі С.6

№	a	F 1	F 2	М		№	a	F 1	F 2	М
	1,2						1,2
	1,5						1,2
	1,0						1,5
	1,2						1,4
	1,2						1,2
	1,4						1,0
	1,0						1,2
	1,2						1,5
	1,2						1,2
	1,4						1,4
	1,2						1,2
	1,5						1,0
	1,2						1,2
	1,0						1,5
	1,4						1,2

Дата добавления: 2015-06-04