Демонстрационные примеры. Вопросы для теоретической подготовки

Вопросы для теоретической подготовки

Характеристики случайной величины

Тема 8. Статистическая выборка и числовые

Ø Цель: научить собирать и использовать статистические данные для оценки числовых характеристик случайной величины.

1. Что называется простой выборкой из генеральной совокупности? Постановка задачи статистического оценивания. Какая оценка называется несмещенной, эффективной, состоятельной?

2. Как проводится группировка значений и строится статистическое распределение выборки, полигон и гистограмма частот?

3. Метод произведений расчета начальных и центральных моментов к -го порядка.

4. Статистические оценки: выборочная средняя, выборочная исправленная дисперсия, выборочная асимметрия и эксцесс, их свойства и отыскание с помощью ложного нуля.

5. Интервальная оценка для математического ожидания нормальной случайной величины. Точность и достоверность оценки в случае известной и неизвестной дисперсии.

Пример 1. Сгруппировать выборку объема n = 100 значений случайной величины Х, изображенных на рисунке 3 точками числовой оси Ох.

Рисунок 3 – Группировка выборочных данных

Решение. Для разбивки выборки на k частей найдем число k из неравенств . В нашем случае 5 £ k £ 10. Пусть, например, х _max = 22,8 и х _min = 11,4. Выбираем длину каждого интервала целым числом, например, h = 2; тогда k = 6. Количество точек в i -м интервале обозначим n_i. Если точка попала на границу между интервалами, то ее относим к интервалу с большим количеством точек. Частоту n_i присвоим точке, расположенной в середине i -го интервала. Координата этой точки называется вариантой х_i. Полученные данные заносим в таблицу 1, которая называется статистическим распределением выборки.

Таблица 1

номер i
варианта хi
частота ni

Пример 2. Построить гистограмму и полигон частот согласно статистическому распределению выборки из примера 1.

Решение. Построим гистограмму частот с помощью рисунка 3. На горизонтальной оси откладываются точки разбиения значений выборки, а на вертикальной оси – частоты соответствующих вариант, деленные на шаг разбиения h. Сумма площадей всех прямоугольников на гистограмме равна объему выборки. Аналогично рисунку 4 строится гистограмма относительных частот. В этой гистограмме на вертикальной оси откладываются частоты соответствующих вариант, деленные на шаг разбиения и на объем выборки. Поэтому сумма площадей всех прямоугольников на гистограмме относительных частот равна единице. Формы этих гистограмм одинаковы.

Рисунок 4 – Гистограмма частот

Построим полигон частот (рисунок 5) с помощью таблицы 1.

Рисунок 5 – Полигон частот

Пример 3. Методом произведений найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, асимметрию и эксцесс по данным выборки из таблицы 1.

Решение. Составим расчетную таблицу 2. Для этого:

1) дополним таблицу 1 еще пятью строчками;

2) в качестве ложного нуля С выберем варианту (16), которая имеет наибольшую частоту (в качестве ложного нуля С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине строки); в клетке четвертой строки, которая принадлежит столбцу, содержащему ложный нуль, пишем 0; слева от нуля последовательно записываем –1, –2, а справа от нуля 1, 2, 3;

3) произведения частот n_i на условные варианты u_i запишем в пятой строке; отдельно находим сумму (–25) отрицательных чисел и отдельно сумму (48) положительных чисел; сложив эти числа, их сумму (23) помещаем в последнюю клетку строки;

4) произведения частот на квадраты условных вариант, то есть n_iu_i² запишем в шестой строке (удобнее перемножить числа каждого столбца четвертой и пятой строк: u_i× n_iu_i = n_iu_i²); сумму чисел строки (127) помещаем в последнюю клетку строки и так далее.

В итоге получим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

номер i
варианта хi
частота ni							n = 100
условная ui	–2	–1
niui	–10	–15	–25				S niui = 23
niui ^2			–				S niui ^2= 127
niui ^3	–40	–15	–				S niui ^3= 149
niui ^4			–				S niui ^4= 595

Вычислим условные начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

Вычислим искомые выборочные величины, учитывая, что h = 2, а ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С = 16

Пример 4. по данным выборки из таблицы 1 найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для математического ожидания m нормально распределенной случайной величины Х.

Решение. выборочные среднюю и дисперсию используем из примера 2. Исправленное среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

Значение t_g найдем с помощью таблицы приложения 4 и значений g = 0,95 и n = 100: t_g = 1,984. Найдем доверительный интервал

Подставляя получим искомый доверительный интервал 16,02 < m < 16,90.

Дата добавления: 2015-06-25