Размах вариации и среднее линейное отклонение

Размах вариации (размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака и определяется по формуле:

(6.1)

где R – размах вариации;

x_max – максимальное значение признака;

х_min – минимальное значение признака.

Пример. Наблюдения показывают, что скорость движения легковых автомобилей находится в диапазоне 20-90 км/ч., грузовых автомобилей – в пределах 20-80 км/ч., маршрутных автобусов – 20-60 км/ч., автобусов междугородних сообщений – 20-90 км/ч. Определим размах вариации скоростей этих видов транспорта. Расчет представлен в таблице 6.1.

Таблица 6.1

Скорости движения транспортных средств

Вид транспорта	Скорость, км/ч.	Скорость км/ч.	Размах вариации
Легковые автомобили			R=90-20=70 км\ч.
Грузовые автомобили			R=80-20=60 км\ч.
Маршрутные автобусы			R=60-20=40 км\ч.
Междугородние автобусы			R=90-20=70 км\ч.

Безусловным достоинством этого показателя является простота его расчета, поэтому он не редко используется и в технике и в экономике. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, что делает в известной мере случайной его величину. Поэтому его целесообразно применять при изучении достаточно однородных статистических совокупностей.

Более надежный показатель – средний размах вариации, вычисляемый как средняя арифметическая из ряда размахов, полученных в результате обработки равных серий наблюдений. Таким показателем, пользуются, например, при контроле качества продукции.

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая индивидуальных абсолютных отклонений значений признака от его среднего значения.

Индивидуальные значения признака в статистической совокупности отклоняются от его средней величины в ту или иную сторону. Найдем среднюю меру отклонения каждого значения признака от его средней величины. Обозначим значения варьирующего признака у отдельных единиц совокупности через , где n – количество (число) единиц совокупности.

Вычитая из каждого значения признака его среднюю величину получим:

; ;... (6.2)

Так как алгебраическая сумма (сумма с учетом знака (±) величин) отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической (согласно нулевому свойству) всегда равна нулю, то для расчета среднего линейного отклонения используется арифметическая сумма (сумма модулей величин) отклонений, т.е. суммируются абсолютные значения индивидуальных отклонений значений признака независимо от знака.

Среднее линейное отклонение вычисляется для первичных, несгруппированных данных:

(6.3)

Для сгруппированных данных (интервальный ряд):

(6.4)

где х_i – индивидуальное значение i -гo признака;

– центральное значение признака в i -ом интервале;

– среднее значение признака;

п - число единиц статистической совокупности;

f_i – количество признаков в i -ом интервале;

m – количество интервалов в интервальном вариационном ряду.

Пример. Проведем расчет среднего линейного отклонения сменной выработки токарей механического цеха, данные о которой представлены в таблице 6.2.

Таблица 6.2

Сменная выработка токарей механического цеха завода

Количество деталей, обрабатываемых в смену одним рабочим, шт. (х)	Число рабочих (f)	х·f
ИТОГО:			-

Вычисляем среднюю арифметическую:

Тогда среднее линейное отклонение составит:

Это означает, что в среднем сменная выработка каждого рабочего в изучаемой совокупности отклонялась от средней сменной выработки в целом по цеху на 0,76.

Среднее линейное отклонение – число всегда именованное. Его размерность соответствует размерности варьирующего признака.

Простота расчета и интерпретации результатов составляют положительные стороны данного показателя. Однако в результате абстрагирования от знака индивидуальных отклонений, возникают трудности в применении математических методов анализа вариации. Математические свойства модулей «плохие»: их нельзя поставить в соответствие с каким-либо вероятностным законом, в том числе и с нормальным распределением, наиболее часто ветречающимся в экономике, в технике, в жизни. По этой причине среднее линейное отклонение в настоящее время используют редко, но используют. Например, для оценки однородности толщины нитей и пряжи в текстильной промышленности.

Дата добавления: 2015-06-26