Лекція 12

Ферміони та принцип Паулі

На минулій лекції ми з’ясували, що в основі квантовомеханічного розгляду системи однакових частинок лежить принцип тотожності. Цей прин­цип проголошує: внаслідок тотожності частинок, що утворюють систему, стани цієї систе­ми, які відрізняються лише перестановкою частинок є еквівалентними. От­же, перестановка частинок не приводить до зміни якоїсь квантовомеханічної характе­ристики стану системи. Зокрема, залишаються незмінними як середні зна­чення фізичних величин, визначених для системи, так і імовірності певних зна­чень цих величин. Тепер ми знаємо, що фізичний зміст має тільки опис систе­ми як цілого, а поняття про індивідуальний стан окремої частинки системи змісту не має.

Ми також з’ясували, що хвильові функції системи тотожних частинок поді­ляються на два класи. Це клас симетричних і клас антисиметричних хвильових функцій. Цей поділ є абсолютним у тому розумінні, якщо система у почат­ко­вий момент часу описувалася функцією певного класу, тоді вона у всі наступні моменти часу опи­суєть­ся функцією цього класу. Отже, у випадку системи то­тож­них частинок ли­ше симетричні або антисиметричні розв’язки рівняння Шредінґера мають фізич­ний зміст.

Дослід показує, що системи, що складаються з частинок, спін яких є цілим кратним , описується симетричними хвильовими функціями. Системи, які скла­даються з частинок, спін яких є напівцілим кратним , описуються антиси­метричними хвильовими функціями. Частинки з цілим спіном мають назву бо­зе-частинок, а частинки з напівцілим спіном – ф ермі-частинок. Обрана термі­но­ло­гія пов’язана з тим, що для систем частинок, які описуються симетрич­ни­ми функціями, відповідна ідеальна система підкоряється статистиці Бозе-Ейнштейна, а для систем з антисиметричними хвильовими функціями від­по­відний ідеальний газ підкоряється статистиці Фермі-Дірака. Зауважимо, що питан­ня про зв’язок спіну зі статистикою свою послідовну теоретичну інтер­пре­тацію знаходить лише в рамках сучасної релятивістської квантової теорії поля. Фізичні властивості бозе-системи суттєво відрізняються від властивостей фермі-систем.

Розглянемо тепер для простоти систему двох невзаємодіючих тотожних части­­нок. Стан такої системи можна побудувати за допомогою двох хвильових функцій і окремих частинок цієї системи. Індекси та у хви­льових функцій позначають певні набори значень квантових чисел, які іденти­фі­кують окремі одночастинкові стани кожної з двох частинок системи, а через позначено сукупність просторових та спінових змінних хвильових функцій, тобто . Щоб побудувати з цих двох одночастинкових нормованих хви­льових функцій хвильову функцію цілої системи , яка матиме певну симетрію, нам треба утворити певну лінійну комбінацію добутків одночастин­кових функцій:

Властивість симетрії хвильової функції дає: . Якщо вибрати дійс­ні коефіцієнти , , тоді . Отже,

У такий спосіб ми побудували симетричну і антисиметричну хвильові функції для систем двох тотожних частинок. Верхній знак відповідає бозонам, а ниж­ній – ферміонам. З умови нормування

одержуємо, що . Таким чином, шукані хвильові функції для систем двох частинок мають вигляд

Випадок, коли є нижній знак «-», дозволяє записати хвильову функцію через визначник другого порядку:

Ця форма запису узагальнюється на випадок системи з числом ферміонів

де .

Висновок: якщо два ферміони перебувають в однакових станах (на­приклад, ), тоді два рядки визначника однакові, хвильова функція . Отже, не існує квантових станів, коли у системі хоча б два ферміони пе­ребувають в однакових станах. Це твердження складає зміст т. з. принципу Паулі. Цей принцип стосується лише систем, до складу яких входять фермі-час­тинки, і був вперше сформульований Паулі як постулат, необхідний для пояс­нення експериментів і, передусім, для пояснення періодичної системи елемен­тів.

Отже, у системі, яка складається з ферміонів, дві або більше частинок не можуть перебувати в однакових станах. Таке формулювання принципу Паулі мож­на застосовувати лише до систем, у яких взаємодія між частинками є слабкою, тобто, коли ще наближено можна говорити про стан окремої частин­ки. У загальному випадку можна сказати, що система зодовольняє принципу Паулі, як­що вона описується лише антисиметричною хвильовою функцією відносно перестановки пари частинок.

Дата добавления: 2015-06-04