КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Радикальный признак Коши
Иногда удобно пользоваться радикальным признаком, Коши для исследования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказательство.
Теорема 5.4. Пусть дан ряд (4.1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .
Как и для признака Даламбера, в случае, когда , вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его.
Пример 5.6. Исследовать на сходимость ряд . Решение: Так как ,
то применим радикальный признак Коши к ряду .
Вычисляем . Отсюда, ряд сходится, а значит, сходится и исходный ряд, согласно свойству 1 числовых рядов.
5.4. Интегральный признак Коши. Обобщённый гармонический ряд.
Теорема 5.5. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , , , …., , …., то:
1) если сходится, то сходится и ряд (6.1); 2) если расходится, то расходится также и ряд (6.1).
О сходимости несобственных интегралов см. [1], стр.89.
Рис.2
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , основанием которой служит отрезок оси Ох от х = 1 до х = (см. рис. 2). Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1; 2], [2;3],... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем: , или , или . (5.7)
Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т. е. . Поскольку , то с учетом неравенства (5.7) имеем: , т. е. . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то, по признаку существования предела, эта последовательность имеет предел. Следовательно, ряд (6.1) сходится.
Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при . Учитывая, что (см. (5.7)), получаем, что при . Следовательно, данный ряд (6.1) расходится.
Замечание. Вместо интеграла можно брать интеграл , где , . Отбрасывание первых членов ряда в ряде (6.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
Пример 5.7. Исследовать на сходимость ряд .
Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция удовлетворяет условиям теоремы 5.5. Находим
.
Значит, ряд с общим членом расходится.
Ряд , (5.8)
где - действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда (5.8) на сходимость применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают).
Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем:
При имеем гармонический ряд , который расходится (второй способ: ). Итак, ряд (5.8) сходится при , расходится при . В частности, ряд сходится (полезно знать).
Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике.
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 1495; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |