Дробово-лінійна функція

Функція (c≠0) називається дробово-лінійною. Для дробово-лінійна функція має похідну та якщо (випадок, коли нецікавий, бо тоді ), то при та відображення здійснює конформне відображення усіх z ().

Оскільки , , то довизначивши , отримаємо, що переводе розширену комплексну площину z на розширену площину .

З знаходимо, що – обернена функція до , причому , тобто обернена функція до – дробово-лінійна та є однолистим відображенням розширеної площини z на розширену площину . Враховуючи все, що було сказано вище, можна зробити висновок, що – конформне відображення розширеної площини z ()на розширену площину .

Залишається розглянути – чи конформне відображення у точках ?

Із визначення конформності відображення у нескінченно віддаленій точці, треба розглянути конформність відображення у точці z =0, та існує, тобто – конформне відображення у z =0, значить у точці здійснює конформне відображення.

Нехай . Розглянемо функцію , обернену до вихідної . Оскільки дробово-лінійна функція – конформне відображення, то відображення зберігає кути та постійність розтягувань при відображенні у , але тоді і в обернену сторону відображення (обернена до ) зберігає кути та постійність розтягувань при відображенні у .

Таким чином, можна зробити висновок: дробово-лінійна функція здійснює конформне відображення розширеної комплексної площини z на розширенеу комплексну площину .

Теорема. Заданням відповідності трьом різним точкам розширеної площини z трьох різних точок розширеної площини дробово-лінійна функція визначена однозначно.

Тобто, якщо , , , то має вид

: = : .

Теорема: (колова властивість) дробово-лінійна функція переводе кола та прямі на площині z у кола та прямі на площині .

Доведення теореми див. [1, с. 162-163].

Приклад. Знайти функцію, яка конформно відображає коло на верхню півплощину .

Розв’язання

Встановимо відповідність:

(границя повинна переходити в границю) та повинно зберігатися направлення обходу області тоді, оскільки дробово-лінійна функція буде мати вид = : або .

Знайдемо . Відмітимо, що , тобто переводе коло на півплощину .

Вправи

У що відображаються наступні області?

1. квадрат ;

2.півколо .

Знайти дробово-лінійне відображення, яке переводе точки – 1,i,i+1 у точки

3. 0, 2i, 1– i;

4. i, ,1.

Знайти дробово-лінійне відображення, яке переводе точки - 1, у точки

5. i, 1, 1+i;

6.

Знайти загальний вид дробово-лінійного відображення, яке переводе:

7. верхню півплощину на себе;

8. верхню півплощину на нижню;

9. верхню півплощину на одиничне коло;

10. верхню півплощину на праву півплощину.

Дата добавления: 2015-06-04