Інтеграл від функції комплексної змінної по кусочно-гладкому контуру

Нехай С - крива на площині z, а функція визначена вздовж кривої С. Розіб’ємо криву С з довільними точками та виберемо на дузі довільні точки .

Сума – інтегральна сума для даного розбиття та вибраних точок, позначимо – максимальну довжину дуг , .

Означення: число називається інтегралом функції вздовж кривої С, а функція називається інтегрованою вздовж кривої С, якщо для будь-якого існує таке , що для будь-якого розбиття кривої, параметр якого виконується нерівність незалежно від вибраних точок.

Позначимо: .

Теорема: Нехай С - кусково-гладка крива, а – кусково-неперервна та обмежена, то інтегрована уздовж С та

Доведення цього факту можна знайти [1, с.39].

Крім того, оскільки інтеграл від комплексної функції виражається через звичайні криволінійні інтеграли, то всі властивості звичайного інтегралу виконуються у випадку інтегралу від комплексної функції:

1) ;

2) ;

3)

4) , де , L – довжина кривої С і т.д.

Приклад: обчислити , де C – дуга .

Розв’язання:

,

.

Вправи:

Обчислити

1) по півколу та ;

2) по півколу та ;

3) та ;

4) та ;

5) , С – замкнений контур, який складається з верхнього півкола та відрізку .

Обчислити :

6) та ;

7) , ;

8) ;

9) С: радіус-вектор ;

10) С: початок шляху в точці z =1.

Дата добавления: 2015-06-04