КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Несобственный интеграл
Определенный интеграл Пример 9. Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой: Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной, меняются пределы интегрирования: . На отрезке по переменной t функция непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем: .
Пример 10. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. Решение. Перейдем от несобственного интеграла к определенному с границами . Далее считаем полученный интеграл, с помощью обычных правил интегрирования: Пример 11. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Решение. Так же, как и в предыдущем примере, перейдем от несобственного интеграла к определенному под знаком предела. . Замечание: когда , то . Поэтому получаем, что , а это значит, что данный интеграл расходится. Пример 12. Вычислить интеграл от разрывной функции или установить его расходимость. Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х =0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования. . (1) Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то: .
Таким образом, на отрезке интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.
Приложения определенного интеграла
1. Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия – прямая. Найдем координаты точек пересечения данных линий: Для этого решаем систему уравнений , ее решением являются точки A(2;3),B(5;0). Фигура ACB не является криволинейной трапецией, поэтому для вычисления площади данной фигуры рассмотрим разность площадей двух криволинейных трапеций: FACB и FAB. Для вычисления площадей воспользуемся формулой: , где a и b это пределы, в которых изменяется переменная х. В данном случае для обеих фигур a=2, b=5. Из чертежа видно, что для фигуры FACB . Вычислим площадь этой фигуры: Для фигуры FAB , следовательно, имеем: . Площадь искомой фигуры будет равна: . Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией . Решение. Построим данную кривую. Полярные координаты точек кривой получаются заданием значений угла и вычислением значений из равенства . Положение точки А на плоскости в полярной системе координат определяют расстоянием от полюса 0 до точки и углом , образованным отрезком ОА с полярной осью.
Вычислим площадь данной фигуры по формуле: , где и пределы, в которых лежит данная фигура. В нашем случае . Подставляя все эти величины в формулу, получаем:
2. Вычисление длины дуги плоской кривой. Пример 15. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y. Построим график и найдем точки пересечения с осями координат: . Длина дуги вычисляется по формуле . Для данной задачи .
Подставляя все эти значения в формулу, получаем:
Дата добавления: 2015-06-30; Просмотров: 515; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |