Нелинейная корреляционная зависимость

Пример выполнения задания № 2

Задание. Дана корреляционная таблица зависимости x и y. Требуется найти коэффициент линейной корреляции, коэффициенты регрессии и написать уравнения прямых регрессий вида, а также вычислить среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6

y x	15-25	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75	75-85	Sx
200-300
300-400
400-500
500-600
600-700
700-800
800-900
Sy

Решение. 1. Сначала интервалы значений признаков заменим их средними значениями, например

;

; … и т.д.

Затем, используя свойство 4 коэффициента линейной корреляции, уменьшим признаки x в (0,01), а y в (0,1), тогда новые признаки U и V будут связаны с x и y следующими соотношениями:

; (14)

где a, b - множители масштабирования для признаков x и y. Для нашего случая, примем a = 0,01, а b = 0,1. Значения признаков U и V рассчитанные

по формуле (14) приведены в таблице 7.

Таблица 7

U	250×0,01=2,5	3,5	4,5	5,5	6,5	7,5	8,5
V	20×0,1=2	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0

Все дальнейшие вычисления производятся со значениями признаков U и V.

2. Заполним таблицу 8.

Таблица 8

V U								Mх	Mх U	MхU^2	SMхуV	USMхуV
2,5												132,5
3,5										1837,5
4,5									670,5	3017,25
5,5												2788,5
6,5									422,5	2746,25		2346,5
7,5												1342,5
8,5										433,5		365,5
My										13026,5		11037,5
MyV
MyV^2

3. Используя полученные значения, найдем следующие средние арифметические по формулам:

; ;

; ;

Средние арифметические признаков U и V возведём в квадраты:

4. Найдем выборочные дисперсии по каждому признаку:

;

,

следовательно, средние квадратические отклонения по каждому признаку:

;

5. Коэффициент линейной корреляции вычисляется по формуле (12):

Вывод: Коэффициент корреляции , значит между признаками U и V, и следовательно, между переменными x и y, существует более сильная линейная функциональная связь.

6. Вычислим коэффициенты регрессии (11):

7. Уравнения прямых регрессии, согласно (10), запишутся:

или

Подставим найденные значения и получим уравнения регрессий:

8. Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле (13):

.

Вывод: полученные уравнения регрессий точно описывают функциональную линейную зависимость между x и y.

Если линии регрессий не являются уравнениями прямых, то коэффициент корреляции не дает полного представления о силе связи между величинами x и y. Для выбора и обоснования типа кривой регрессии нет универсального метода. На практике чаще всего в качестве нелинейной зависимости выбирают либо параболическую, либо гиперболическую зависимость. В этом случае за меру зависимости признаков берут корреляционные отношения, которые являются показателем рассеяния точек корреляционного поля относительно эмпирической линии регрессии и вычисляются по формулам:

; (14)

. (15)

где и - межгрупповые средние квадратические отклонения признаков y и x; и - общие средние квадратические отклонения признаков x и y.

Чем выше , тем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной у оказывает изменчивость х по сравнению с неучтенными факторами и наоборот. Аналогично для корреляционного отношения .

Основные свойства корреляционных отношений обладают следующими свойствами:

1. Они всегда заключены между 0 и 1, т.е. .

2. Если они равны нулю, то это есть необходимое и достаточное условие отсутствия корреляционной зависимости признаков x и y.

3. Если они равны 1, то между признаками x и y существует функциональная зависимость.

4. Между коэффициентом линейной корреляции и корреляционными отношениями существует следующая взаимосвязь:

5. Корреляционные отношения не зависят от масштабирования:

если и .

Дата добавления: 2015-07-02