Решение. а) В четырёхугольнике углы и

а)

а) В четырёхугольнике углы
и — прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём — её диаметр. Вписанные
углы и опираются на одну дугу, следовательно,

,

Треугольники и имеют общий угол и . Значит, эти треугольники подобны.

б) Радиус окружности, описанной около треугольника , равен . Радиус окружности, описанной около треугольника , равен 4. Значит, треугольники и подобны с коэффициентом подобия . Получаем, что

.

Следовательно, искомое отношение равно

.

Ответ: .

Задача 2.

Медианы , и треугольника пересекаются в точке . Известно, что .

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан и , если известно, что .

Решение. а) Доказательство. Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Значит,

.

Поэтому треугольники и равнобедренные, причем и . Сумма всех этих четырех углов равна . Тогда . Отсюда следует, что треугольник прямоугольный.

б) Треугольник прямоугольный. Поэтому .

Аналогично из прямоугольного треугольника находим: .

Сложим полученные равенства:

Ответ: 125.

Задача 3.

Медианы , и треугольника пересекаются в точке . Точки , и – середины отрезков , и соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника .

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что , и .

Решение. а) Доказательство. Обозначим площадь треугольника через ; нужно доказать, что площадь шестиугольника равна . Из рисунка видно, что она равна . Поскольку треугольник подобен треугольнику с коэффициентом 0,5, его площадь равна .

Докажем, что точка – точка пересечения медиан треугольника . Обозначим через точку пересечения медианы и средней линии . Медиана и средняя линия делят друг друга пополам (это диагонали параллелограмма ), поэтому , а — медиана треугольника . Далее, , то есть точка делит медиану треу-гольника в отношении . Значит, это действительно точка пересечения медиан треугольника .

Получаем, что площадь треугольника равна трети площади треугольника , то есть равна . Точно так же, площади треугольников и равны . Отсюда площадь шестиугольника равна .

б) Обозначим длины сторон , , треу-гольника через , , . Докажем, что квадрат медианы равен . Для доказательства на продолжении отрезка за точку отложим отрезок . Получим параллелограмм со сторонами и и диагоналями и . Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

, откуда . Аналогично доказывается, что , а .

Обозначим через середину отрезка . Поскольку — точка пересечения медиан треугольника , она лежит на отрезке и делит его в отношении , считая от точки . Значит, . Но треугольники и подобны с коэфиициентом , поэтому , и . Повторяя те же рассуждения для треугольника , получаем, что и отрезок равен . Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника : , . Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника , получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна .

Ответ: .

Как и во всякой сложной геометрической задаче весьма деликатным является вопрос о степени и характере обоснованности построений и утверждений. Позиция разработчиков КИМ состоит в том, что при решении задания №18(С4) невозможно от выпускников школ на экзамене требовать изложения, приближающегося к стилю учебников и методических статей. Достаточным является наличие ясного понимания геометрических конфигураций искомых объектов, верного описания (предъявления) этих конфигураций и грамотно проведенных рассуждений и вычислений. Обратим также внимание на то, что часто при решении геометрических задач школьники ссылаются на весьма невразумительный чертёж, а иногда чертёж вообще отсутствует (если рисунок сделан на бланке карандашом, то эта область не сканируется). Снижать оценку только за это не рекомендуется.

Примеры оценивания заданий №18(С4)

Дата добавления: 2015-07-02