Лекция № 8. Определение результата измерения при многократных наблюдениях

При измерениях с многократными наблюдениями экспериментатор измеряет одну и туже постоянную величину х = const несколько (n) раз. В результате получает ряд х₁ х₂ …. х_n, каждый член которого состоит из истинного значения измеряемой величины и случайной составляющей погрешности.

То есть мы имеем

При обработке данных в качестве оценки истинного значения математического ожидания измеряемой величины Х принимается среднее арифметическое выборки Х_N которое считается равным результату измерения

где - кофффициенты веса наблюдений, характеризующие степень доверия к каждому из них. При этом = 1. Если все наблюдения производятся в одинаковых условиях, то такие измерения называют равноточными, тогда С₁ = С₂ …=С_n = 1/n. За результат измерения принимается:

Точность измерения при одном и том же числе наблюдений будет выше, чем меньше рассеяны результаты отдельных наблюдений Х_i. Для характеристики точности полученного значения результата измерения (среднего арифметического) необходимо измерить с.к.о среднего арифметического .

Здесь необходимо различать 2 случая:

Случай 1. С.к.о результатов наблюдения известны, т.е. известно G_н

В этом случае

Согласно правилам вычисления дисперсии произведения случайной функции Xi и постоянного коэффициента 1/n постоянный коэффициент 1/n берется в квадрате, т.е.

Следовательно, с.к.о. результата измерения равно

Таким образом, с увеличением числа наблюдений погрешность результата измерения будет уменьшаться в раз по отношению с с.к.о. результатов наблюдений.

Случай 2. С.к.о. результатов наблюдений не известно

В этом случае вначале определяют оценку и ее числовые характеристики. Оценку с.к.о. результатов наблюдения оценивается по значениям случайных отклонений результатов наблюдений. Случайное отклонение результата наблюдения – это разность между результатом наблюдения и средним арифметическим

Оценка с.к.о. результата наблюдения равна

Эта оценка при малых n является неточной. Поэтому при малых «n» ее умножают на коэффициент . С учетом подправки

Оценка с.к.о. результата измерения измеряется через через случайные отклонения по формуле:

,

где коэффициент Mk, зависящий от числа наблюдений равен:

при n = 1 М_k = 1,253; n = 2 М_k = 1,128;

n = 3 М_k = 1,085; n > 6….10 М_k 1.

Наиболее полно свойства случайной погрешности описываются вероятностной функцией распределения. Она устанавливает связь между возможными значениями случайной погрешности и вероятностью появления этих значений. Наиболее часто используют нормальный или равноправный законы.

Нормальный закон описывается функцией

G – среднее квадратическое отклонение;

G² – дисперсия.

При известной дисперсии результат измерения А_n c доверительной вероятностью P равен

,

где Z_p – случайная величина, распределенная по нормальному стандартному закону. При неизвестной дисперсии результат измерения А равен

где - случайная величина, распределенная по закону Стьюдента, - число степеней свободы, , - число измерений

- точечная оценка с.к.о. результата измерения.

Закон Стьюдента при большом количестве измерений (n > 30) приближается к нормальному и . Но при n < 30 он зависит от числа степеней свободы , где n – число измерений.

Дата добавления: 2015-07-02