Выпуклые функции n переменных

Функция Лагранжа

Если - точка локального условного экстремума, то в этой точке

(2)

Каждой точке экстремума сопутствует единственный набор чисел

Достаточные условия локального экстремума

Пусть - решение системы (2), - второй дифференциал функции Лагранжа, вычисленный в этой точке, а часть переменных в исключена с помощью соотношений полученных дифференцированием условий (1).

Если получившаяся квадратичная форма есть положительно определенная квадратичная форма n - m переменных, то - точка условного локального минимума, если же - отрицательно определенная квадратичная форма, то - точка условного локального максимума.

Выпуклое множество

Множество называется выпуклым, если вместе с точками X, Y оно содержит отрезок

Выпуклые функции

Функция u = f(x), заданная на выпуклом D, называется выпуклой, если

и строго выпуклой, если

Признак строгой выпуклости

Если в каждой точке X области D второй дифференциал d₂f(X) есть положительно-определенная квадратичная форма от дифференциалов независимых переменных, то f строго выпукла в D.

Свойства строго выпуклых функций

Строго выпуклая функция имеет не более одной точки локального минимума в D и ни одной точки локального максимума. Точки глобального максимума строго выпуклой функции, определенной на выпуклом компакте, лежат на границе этого компакта.

Если f дифференцируема, строго выпукла на выпуклой области D и имеет стационарную точку то является точкой глобального минимума f, притом единственной.

Дата добавления: 2015-07-02