Правило Байеса и его использование

Ранее было определено правило произведения и указано, что оно может быть записано в двух следующих формах благодаря коммутативности конъюнкции:

Р(аÙ b) = Р(аç b)Р(b) Р(аÙ b) = Р(bçа)Р(а)

Приранняв две правые части стороны и разделив их на Р(а), получим такое

уравнение:

Р(bçа) = Р(аç b)´Р(b) Р(а)

Это уравнение известно под названием правила Байеса (а также закона Байеса, или теоремы Байеса ). Это простое уравнение лежит в основе всех современных систем искусственного интеллекта для вероятностного вывода. Более общий случай многозначных переменных может быть записан в системе обозначений Р следующим образом:

Р(U çC) = Р(C çU) ´ Р(U) Р( C)

Это уравнение также следует рассматривать как представляющее множество уравнений, в каждом из которых рассматриваются конкретные значения переменных.

На первый взгляд правило Байеса не кажется очень полезным. В нем требуются три терма (одна условная вероятность и две безусловных вероятности) только для вычисления одной условной вероятности.

Но правило Байеса находит очень широкое практическое применение, поскольку во многих случаях имеются хорошие оценки вероятностей для этих трех термов и нужно вычислить четвертый. В такой задаче, как медицинская диагностика, часто известны условные вероятности причинных связей и требуется определить диагноз. Врач знает, что такое заболевание, как менингит, очень часто вызывает у пациента симптом, характеризующийся снижением подвижности шеи; предположим, что этот симптом наблюдается в 50% случаев. Кроме того, врачу известны некоторые безусловные факты: априорная вероятность того, что некоторый пациент имеет менингит, равна 1/50 000, а априорная вероятность того, что некоторый пациент имеет неподвижную шею, равна 1 / 20. Предположив, что s — высказывание, согласно которому пациент имеет неподвижную шею, а m — высказывание, что пациент имеет менингит, получим следующее:

Р (s ç m) = 0,5

Р (m) = 1ç50 000

Р (s) = 1ç20

Р (m ç s) = Р (s ç m)Р (m) = 0,5 ´ 1ç50 000 = 0,000

Р (s) 1ç20

Итак следует предполагать, что 1 из 5000 пациентов с неподвижной шеей имеет менингит. Следует отметить, что даже если неподвижная шея является весьма надёжным показателем наличия менингита (с вероятностью 0,5), сама вероятность наличия менингита у пациента остается низкой. Это связано с тем, что априорная вероятность наличия симптома неподвижной шеи намного выше по сравнению с вероятностью менингита.

Один из очевидных вопросов, касающихся правила Байеса, состоит в том, почему может оказаться доступной условная вероятность, реализуемая в одном направлении чем в другом. В проблемной области лечения менингита, возможно, врач знает из симптома неподвижной шеи следует наличие менингита в 1 из 5000 случае это означает, что врач имеет количественную информацию в диагностическом направлении, от симптомов к причинам. для такого врача не требуется использование правила Байеса. К сожалению, диагностические знания часто встречаются намного реже но сравнению с причинными знаниями.

Если внезапно возникает эпидемия менингита, то безусловная вероятность менингита Р (m), повышается. Врач, который вывел диагностическую вероятность Р (m ç s) непосредственно из статистических наблюдений за пациентами перед эпидемией, не будет иметь представления как обновить это значение, а врач, который вычисляет Р (m ç s) из других трех значений, обнаружит, что значение Р (m ç s) должно увеличиваться пропорционально Р (m). Еще более важно то, что причинная информация Р (s ç m) остается незатронутой данной эпидемией, поскольку она просто показывает, в чем выражается действие менингита. Использование такого рода прямых причинных знаний, или знаний, основанных на модели, позволяет достичь надежности, которая крайне нужна при создании вероятностных систем, применимых в реальном мире.

Дата добавления: 2015-06-27