Теоремы об изменении количества движения и теорема о движении центра масс

Сложим почленно уравнения (7.3), получим:

(7.5)

Здесь:

Векторную величину называют количеством движения системы. Тогда (7.5) примет вид:

(7.6)

Теорема: производная по времени от вектора количества движения равна главному вектору внешних сил.

В интегральной форме теорема записывается так:

(7.7)

где - количество движения системы в моменты времени to и t,

- сумма импульсов внешних сил.

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил за то же время.

Если (7.6) спроектировать на направление Ох, получим теорему в скалярной форме:

(7.8)

Производная по времени от проекции количества движения равна алгебраической сумме проекций внешних сил (на одно и тоже направление). В случае из (7.8) следует:

Когда сумма проекций внешних сил на некоторое направление обращается в нуль, количество движения системы по этому направлению не изменяется. В этом заключается закон сохранения количества движения (в скалярной форме)

Вернемся к (7.5). С учетом (7.2) и сказанного о свойстве внутренних сил получим теорему о движении центра масс:

(7.9)

Произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил. Или в другой формулировке: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил. Вся система как бы сжалась в точке С, а все внешние силы как бы перенесены параллельно своим направлениям в эту же точку.

Проектируя (7.9) на направление Ох, получим теорему в скалярной форме:

(7.10)

Отсюда, в случае , следует закон сохранения движения центра масс:

Если сумма проекций внешних сил на некоторое направление равна нулю, то центр масс системы по этому направлению движется с постоянной скоростью (или находится в покое).

Теорема (7.6) имеет более универсальный характер. Она применима и в механике сплошной среды. Теорема (7.9) является разновидностью, удобной в динамике твердого тела. Рассмотренные теоремы характеризуют поступательное движение системы вместе с центром масс. Что касается закона вращения системы, то он дается теоремой об изменении кинетического момента.

Дата добавления: 2015-06-27