Достаточные статистики и их использование в статистических играх

РЕДУКЦИЯ КЛАССА РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ

Упражнения

1. Дайте геометрическую интерпретацию статистической игры иллюстративного примера п. 1.3. Покажите на соответствующих рисунках результаты решения упражнений 1 и 2 п.3.1.

2. Для случая покажите на рисунках множества рисков S статистических игр с неединственным байесовским решающим правилом, игр с неединственным минимаксным решающим правилом.

Существует ряд подходов к редукции общего класса решающих правил в статистической игре и выделения некоторого полного (или существенно полного) подкласса, в котором затем могут быть найдены оптимальные стратегии статистика. Здесь мы рассмотрим возможности замены в решающих правилах многомерного вектора выборки достаточной статистикой меньшей размерности и условия, при которых можно отказаться от рандомизации решающих правил. Приобретение навыков в построении достаточных статистик и выявления возможностей отказа от рандомизации облегчит последующее овладение практическими приёмами решения упражнений на отыскание байесовских и минимаксных решающих правил. Другим способам редукции класса решающих правил в статистических играх, таким, как применение принципа инвариантности и использование монотонных решающих правил, посвящены отдельные разделы данного пособия.

Пусть - случайный вектор с распределением . Функция от называется достаточной статистикой для , если условное распределение при известном значении не зависит от .

Говорят, что решающее правило основывается на статистике , если есть функция только от , то есть , когда .

Если в статистической игре есть наблюдаемый статистиком случайный вектор, принимающий значения в выборочном пространстве , а есть достаточная статистика для , то множество решающих правил, основанных на , образует существенно полный класс.

Выявление достаточных статистик обеспечивается возможностью их факторизационного представления. Функция является достаточной статистикой для тогда и только тогда, когда плотность или функция вероятностей случайного вектора представима в виде

(1)

где зависит от только через функцию , а не зависит от .

При наблюдении повторной выборки удобно, если распределения случайных величин , таковы, что достаточная статистика имеет фиксированную размерность , не зависящую от объёма выборки . Таким свойством обладают распределения, принадлежащие экспонентному семейству, то есть семейству распределений с плотностью или функцией вероятностей вида

(2)

При этом, в силу факторизационного представления

(3)

Пример. Найдём достаточную статистику для повторной выборки из последовательности испытаний Бернулли с неизвестной вероятностью успеха , то есть . Здесь

,

Очевидно, что в факторизационном представлении (1)

и достаточная статистика для имеет вид . Легко убедиться также, что распределение Бернулли принадлежит экспонентному семейству (2) с . Следовательно, в силу (3) при любом объёме выборки достаточная статистика будет скалярной, . Найденная достаточная статистика будет иметь биномиальное распределение с , .

Дата добавления: 2015-06-27