КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Каноническое уравнение параболыОпределение 21. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой l, также расположенной в этой плоскости (И, П, стр. 147). На рисунке 10 (http://desyatbukv.blogspot.ru/2012/01/blog-post_13.html) представлена кривая, удовлетворяющая данному определению.
Рисунок 10 – Парабола Рисунок 11 – Каноническая система координат
Определение 22. Указанная в определении точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая l – директрисой параболы (И,П, стр. 147).
Определение 23. Прямая, проходящая через фокус F параболы, перпендикулярно директрисе l параболы, называется её фокальной осью (или просто осью) (А, стр. 71).
Так как в случае, если , точки, для которых выполняются условия определения 21, принадлежат прямой, проходящей через F перпендикулярно l, т.е. парабола вырождается в прямую (И, П, стр. 147), в дальнейшем будет предполагать, что . Для вывода канонического уравнения параболы систему координат введем следующим образом (А, стр. 71; И,П, стр. 147). Обозначим точку пересечения фокальной оси и директрисы точкой D (рисунок). Начало О декартовой системы координат выберем в середине отрезка , ось Ох сделаем сонаправленной вектору (рисунок 11). Пусть длина отрезка DF равна р, . Тогда в выбранной системе координат точка F имеет координаты: , а прямая l, задается уравнением: . Пусть - произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от точки М до F, а через d – расстояние от точки М до директрисы l (рисунок 12, http://mixeraal.narod.ru/html/ur03.html).
Рисунок 12
Точка М будет принадлежать указанному в определение 21 геометрическому множеству точек (параболе) тогда и только тогда, когда
. (37)
Поскольку для точек с отрицательными абсциссами всегда выполняется соотношение (И, П, стр. 148), далее рассматриваем только точки с неотрицательными абсциссами.
; (38)
. (39)
Равенство (38) выполняется тогда и только тогда, когда
. (40)
Возводя обе части уравнения (40) в квадрат и выполняя простейшие преобразования, получаем уравнение (41):
,
,
. (41)
Так как уравнение (41) является следствием уравнения (40) необходимо проверить, все ли точки , координаты которых удовлетворяют уравнению (41) принадлежат параболе, т.е. для них выполняется свойство (37).
Пусть - точка плоскости, координаты которой удовлетворяют уравнению (41), тогда из (41) автоматически следует, что и, значит, расстояние d от точки M до директрисы l определяется по правилу (39): . Для определения расстояния r от точки М для фокуса F, воспользуемся формулой (38) и уравнением (41):
Так как, по доказанному выше, , а, по постановке задачи, , то , и, следовательно, для всех точек , координаты которых удовлетворяют уравнению (41). Таким образом, условие (37) выполняется и точки принадлежат параболе.
Определение 24. Уравнение (41) называется каноническим уравнением параболы (И, П, стр. 148).
Определение 25. Расстояние р между фокусом и директрисой параболы называется фокальным параметром или просто параметром параболы (А, стр. 71).
Из уравнения (41) легко вывести следующие свойства параболы (А, стр. 71 – 72, И.П., стр. 154), отраженные на рисунке 13 (http://mixeraal.narod.ru/html/ur03.html): 1) Вся парабола расположена в правой полуплоскости; 2) фокальная ось является осью симметрии параболы; 3) парабола пересекается осями координат в точке О (0; 0), которая называется вершиной параболы и совпадает с началом системы координат, являющейся канонической для этой параболы.
Рисунок 13 – Вид уравнения параболы в канонической системе координат
В заключение отметим, что для эллипса и гиперболы также можно определить директрисы (отдельно для каждого из фокусов). Подробнее об этом можно прочитать в учебниках Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (по изданию М: Наука, 1979, стр. 80 – 84) или Ильин В.А., Поздняк ЭГ. Аналитическая геометрия (по изданию М: Наука, 1988, стр. 155 -166). Там же можно ознакомиться с другими интересными свойствами рассмотренных кривых.
Дата добавления: 2015-06-28; Просмотров: 1895; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |