Основные элементы геометрического пространства

Определение чертежа

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕРТЕЖА

Часть вторая.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Как разделить отрезок пополам?

2. Как разделить окружность на четыре, восемь, двенадцать частей?

3. Раскройте принцип построения скругления углов.

4. Что такое сопряжение?

5. Какие виды сопряжения вы знаете?

6. Какие элементы определяют сопряжение?

7. Какие кривые второго порядка вы знаете?

8. Что такое овал?

9. Дайте определения лекальных кривых.

10. Раскройте принципы построения эллипса.

11. Какая кривая называется параболой?

12. Какая кривая называется гиперболой?

13. Дайте определение циклоиды.

14. Раскройте принципы построения синусоиды.

15. Какая плоская кривая называется эвольвентой?

Глава 4. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ОБРАЗОВАНИИ ЧЕРТЕЖА

Чертежом называют графический документ, содержащий изображения предметов (деталей, узлов, машин, зданий и сооружений и т. д.), выполненных с учетом правил и требований, позволяющих однозначно различать эти предметы. Таким образом, процесс выполнения чертежей основан на знании специальных законов и умении использовать их при выполнении графических работ. Теоретической основой черчения является наука о методах изображения геометрических фигур на плоскости — начертательная геометрия.

К чертежам предъявляют ряд общих требований. Так, чертеж должен быть наглядным и давать четкое представление об изображаемом предмете. Чертеж должен быть обратимым. Это необходимо, чтобы по нему можно было точно воспроизвести форму и размеры изображаемого предмета. Чертеж должен быть простым для графического исполнения и др.

Надо также отметить, что знание графических законов способствует развитию пространственного мышления, являющегося основой технического творчества проектировщиков, конструкторов, изобретателей и рационализаторов.

В инженерной графике геометрическое пространство рассматривается как множество однородных элементов. К основным формообразующим элементам геометрического пространства относятся точки, линии (прямые и кривые), поверхности (плоские и кривые).

Рис. 42

Различают пространство евклидово и неевклидово. Евклидово пространство характеризуется тем, что расположенные в нем параллельные прямые линии или плоскости не пересекаются. Характеристики евклидова пространства не учитывают ряда других геометрических свойств пространства. В более широком понимании эти свойства учитывают проективное пространство, в котором параллельные между собой прямые (плоскости) пересекаются. Эти пересечения происходят в так называемой несобственной точке, которая расположена в бесконечности проективного пространства. Для примера можно привести две параллельные плоскости Σ и Σ1 (рис. 42). Проведем в плоскости Σ прямую К, а в плоскости Σ1 прямую L так, чтобы они были параллельны. В проективном пространстве эти прямые пересекаются вне собственной точки Е∞. Далее в плоскости Σ проведем прямую m, а в плоскости Σ1 прямую п так, чтобы они были параллельны. Эти прямые также пересекутся вне собственной точки F∞. Нетрудно видеть, что несобственные точки Е∞ бесконечность и F∞ бесконечность определяют несобственную прямую d ∞. Учитывая, что несобственные точки принадлежат и плоскости Σ, и плоскости Σ1, можно утверждать, что несобственная прямая также принадлежит этим плоскостям. Таким образом, мы имеем случай, когда две параллельные плоскости Σ и Σ1 пересекаются по бесконечно удаленной несобственной прямой d∞ бесконечность.

Характеристики проективного пространства позволяют в ряде случаев упростить формулировки, принятые для евклидова пространства. Это можно подтвердить следующим примером. В аксиомах евклидова пространства отмечается, что две прямые определяют единственную точку, если они не параллельны. Для проективного пространства оговорка «если они не параллельны» теряет смысл.

В общепринятом смысле пространство можно рассматривать как бесконечное. Однако геометрическое пространство может быть рассмотрено с позиций размерности. Так, множество положений точки, перемещающейся в заданном прямолинейном направлении, образует бесконечную прямую линию, представляющую собой одномерное пространство. Если же прямую перемещать в заданном направлении, не параллельном самой прямой, она образует бесконечную поверхность (в данном случае плоскость), представляющую собой двухмерное пространство. Задав плоскости (поверхности) направление, не параллельное ей и перемещая ее в этом направлении, получим трехмерное пространство. Таким же путем можно получить четырехмерное и в общем виде многомерное пространство.

Примем следующие обозначения элементов пространства. Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавита: А,В,С... или цифрами 1,2,3...; прямые — строчными буквами латинского алфавита: а,b,с..., а плоскости — прописными буквами греческого алфавита: Г, Л, П, Σ, Ф, Ψ, Ω.

Между элементами пространства существуют следующие отношения.

Тождественность обозначается знаком ==, например А == В. Это обозначает, что точка А совпадает с точкой В.

Инцидентность (или принадлежность) обозначается знаком €. Например, А € а обозначает, что точка А принадлежит (инцидентна) прямой а.

Параллельность обозначается знаком ||. Например, K || L обозначает, что прямая К параллельна прямой l.

Перпендикулярность обозначается знаком _|_. Например, a_|_ Σ обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости Σ.

Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение, которую обозначают знаком Ų. Например, запись А Ų В = а обозначает, что в результате соединения точек А и В получена прямая а. Операцию пересечение обозначают знаком ∩. Запись m ∩ n = К обозначает, что в результате пересечения прямых тип получена точка К.

§ 25. Геометрические тела и их отображение

Геометрическое тело рассматривают как множество всех принадлежащих ему точек, связанных между собой и ограниченных в пространстве соответствующим образом. Оно может перемещаться в пространстве без изменения взаимного положения его элементов.

В инженерной графике рассматриваются одномерные тела (отрезок линии), двухмерные (плоская фигура, отсек поверхности), трехмерные (любая объемная фигура). Основными предметами изображения на плоских чертежах являются трехмерные геометрические тела, окружающие нас в реальном трехмерном пространстве.

Сложные геометрические тела можно рассматривать и как состоящие из более простых трехмерных фигур, которые определяются основными формообразующими элементами пространства — точками, линиями, поверхностями.

Геометрические тела на чертежах получают методом отображения. Отображение геометрического тела — это понятие, в соответствии с которым каждой точке трехмерного пространства соответствует конкретная точка двухмерного пространства на чертеже. Отображение геометрических тел может быть выполнено на плоскость или какую-либо другую поверхность. В курсе инженерной графики рассматривается отображение геометрических тел на плоскость. Изображение геометрического тела на плоскости можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость.

Геометрическая связь между геометрическим телом, расположенным в пространстве, и его отображением на чертеже на плоскости устанавливаются по законам проецирования, которые базируются на принципе взаимно-однозначного соответствия.

Дата добавления: 2015-06-28