Практическое вычисление матрицы экспоненты

При практическом решении дифференциальных уравнений оператор A задан своей матрицей в некоторoм базиcе и требует явно вычислить матрицу оператора e^At в том же базисе. Мы начнем с простейшего случая.

Случай вещественных и различных собственных чисел

Пусть нам дана система уравнений вида (1.52). Предположим, что n корней l₁,¼,l_n характеристического уравнения

(1.58)

вещественны и различны. Пусть A: ® - линейный оператор, сooтветствующий данной матрице A в некоторой координатной системе. Числа l₁,¼,l_n являются собственными значениями оператора A. Пусть - cоответствующие собственные вектора, т.е.. Эта система векторов является базисом в и матрица оператора A в нем имеет вид

Матрица оператора e^At в собственном базисе также имеет диагональный вид

В силу формулы (1.57) решение системы дифференциальных уравнений (1.52) (или (1.55) в инвариантной форме), удовлетворяющее начальному условию

в собственном базисе x оператора A имеет вид

(1.59)

Другими словами,

В исходном базисе e представление решения мы получим следующим образом.

Разложив начальный вектор по собственному базису x

(1.60)

и заметив, что

(1.61)

мы получаем

(1.62)

Отсюда следует

Таким образом, решение системы (1.52) в исходном базисе e имеем вид

При этом координатный столбец собственного вектора является собственным вектором матрицы системы (1.52).

Таким образом, решать систему уравнений (1.52) в случае, когда собственные значения матрицы вещественны и различны, нужно следующим образом:

1) составить характеристическое уравнение

2) найти его корни l₁,¼,l_n; мы предполагаем, что они вещественны и различны;

3) найти собственные векторы матрицы A из линейных алгебраических уравнений

4) разложить начальный вектор по собственным векторам матрицы A:

5) написать ответ:

Случай различных корней характеристического уравнения

Пусть матрица A = (a_ij) системы (1.52) такова, что корни l₁,¼,l_n (вообще говоря, комплексные) характеристического уравнения

(1.63)

попарно различны. В этом случае целесообразно сначала найти все комплексные решения рассматриваемой системы, а затем выделить все действительные решения. Итак, для большей общности, рассмотрим систему дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами:

(1.64)

где a_ij (i, j = 1,¼, n) - комплексные числа. Искомыми функциями являются, естественно, также комплексные функции z₁,¼,z_n независимого действительного переменного t Î (-¥, +¥).

Комплексный случай, как это часто бывает, проще вещественного. Он важен сам по себе и, кроме того, изучение комплексного случая поможет нам исследовать вещественный.

Фиксируя в n -мерном комплексном пространстве некоторый базис, матрице системы (1.64) мы сопоставим линейный оператор A: ® и перепишем систему (1.64) в виде

(1.65)

Пространство называется фазовым пространством системы (1.65). Pешением j уравнения (1.65) с начальным условием, называется отображение j: I ® интервала I вещественной оси t в такое, что:

1) для всякого

2) t₀ Î I и.

Теорема 1.3.1 Решение j системы уравнений (1.65) с начальным условием дается формулой.

Доказывается эта теорема точно так же, как в вещественном случае. Наша цель теперь - исследовать и явно вычислить оператор e^At. Итак, пусть корни l₁,¼,l_n характеристического уравнения (1.63) различны. Тогда l₁,¼,l_n являются собственными значениями оператора A системы (1.65).

Пусть - собственные векторы, соответствующие данным собственным значениям:

Векторы x = () образуют базис в пространстве и поэтому оно разлагается в прямую сумму инвариантных относительно A и e^At одномерных пространств, причем в каждом одномерном инвариантном подпространстве, скажем, действие операторов A и e^At сводится к умножению на l_k и соответственно.

Обращаясь к формуле j (t) = e^Atz₀, разложим начальный вектор z₀ по векторам собственного базиса

Тогда данная формула примет вид

Поскольку в исходном базисе e координатный столбец является собственным вектором матрицы A = (a_ij), то в исходном базисе решение имеет вид

(1.66)

В качестве следствия отметим, что в случае различных корней характеристического уравнения (1.63) элементы матрицы экспоненты e^At в любом базисе представляют собой линейные комбинации экспонент.

В случае вещественных коэффициентов уравнений (1.64) собственный базис состоит из действительных векторов (соответствующих действительным собственным значениям) и попарно сопряженных комплексных векторов (соответствующих комплексно сопряженным собственным значениям). Поэтому чтобы выделить из комплексных решений (1.66) действительные, нужно взять действительные константы перед действительными решениями и комплексно-сопряженные - перед попарно сопряженными решениями.

Случай кратных собственных чисел

Чтобы найти явный вид матрицы e^At в случае кратных собственных чисел, мы воспользуемся жордановой нормальной формой матрицы.

Пусть - произвольная действительная матрица и A: ® - линейный оператор, соответствующий данной матрице в некоторой системе координат пространства. Как известно, в можно выбрать такой базис x, в котором оператору A соответствует матрица [ A ] ^x, имеющая жорданову нормальную форму, то есть матрица [ A ] ^x имеет блочно-диагональную структуру

æ ç ç ç ç ç è

A 1

A 2

^··_·

As

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

.

(1.67)

Вдоль главной диагонали располагаются жордановы клетки, имеющие вид

где l - собственное значение матрицы A. Так как степень ([ A ] ^x) ^k такой матрицы, очевидно, имеет вид

æ ç ç ç ç ç è

A1^k

A2^k

^··_·

As^k

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

,

будет матрица

æ ç ç ç ç ç è

e^A1^t

e^A2^t

^··_·

e^As^t

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø

,

Таким образом, дело сводится к вычислению матрицы e^At, где A - жорданова клетка:

(1.68)

Один из способов вычисления e^At, где A - жорданова клетка (1.68) порядка n, состоит в том, что матрице (1.68) мы сопоставим конкретный линейный оператор A в конкретном линейном пространстве X_n, для которого легко вычислить оператор e^As = H^s: X_n ® X_n. Переходя тогда к матричному представлению оператора H^s, получим искомую матрицу e^As. С этой целью сформулируем ряд понятий и утверждений:

Пусть l - фиксированное число. Квазимногочленом с показателем l будем называть функцию вида p (t) e^lt, где p (t) - многочлен. Зафиксируем значения показателя l.

Нетрудно видеть, что совокупность Q_n всех квазимногочленов степени меньше n имеет естественную структуру линейного пространства. Выберем в качестве базиса e в Q_n cледующие функции:

(1.69)

Если q (t) Î Q_n, то есть

то координатный столбец [ q ] ^e в базисе (1.69) есть

Теорема 1.3.2 а). Операция дифференцирования является линейным оператором из Q_n в Q_n. Матрица этого оператора в базисе (1.69) есть клетка жордана (1.68) порядка n, т.е.

(1.70)

в). При любом s Î R справедливо равенство

(1.71)

где H^s: Q_n ® Q_n - оператор сдвига, то есть

c). Матрица e^sA имеет вид

(1.72)

Доказательство. Операции дифференцирования и сдвига, примененные к квазимногочлену с показателем l, снова дают нам квазимногочлен с тем же показателем. Формула (1.70) получается в силу соотношений:

Далее, пусть q (t) = p(t) e^lt. По формуле Тейлора

(1.73)

и ряд в правой части данного соотношения абсолютно сходится на всей прямой (так как абсолютно сходятся ряды Тейлора для функций e^lt и p (t)). С другой стороны, ряд в правой части формулы (1.73) по определению есть результат применения к квазимногочлену q (t) оператора. Формула (1.71) доказана. Докажем формулу (1.72). Мы имеем

где

Таким образом, матрица [ H^s ] ^e выражается формулой (1.72). С другой стороны

Теорема доказана.

Замечание. Если l Î C, то матрице A в (1.68) соответствует линейный оператор A, действующий в комплексном линейном пространстве размерности n. Формула (1.72) для матрицы экспоненты e^sA сохраняется.

Следствие 1.3.1 Пусть A - квадратная матрица порядка n с комплексными элементами. l₁,¼,l_s - собственные числа этой матрицы, k₁,¼,k_s - их соответствующие кратности. Тогда каждый элемент матрицы e^A является суммой квазимногочленов от t с показателями l_l степеней меньше k_l соответственно (l = 1,¼,s).

Доказательство. Матрице A соответствует линейный оператор A: ®. В базисе x, в котором матрица [ A ] ^x имеет жорданову форму, утверждение следствия 1.3.1 следует из утверждения с) теоремы 1.3.2. Элементы матрицы в любом другом базисе являются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами элементов матрицы.

Следствие 1.3.2 Пусть j - решение системы дифференциальных уравнений с комплексными коэффициентами

(1.74)

Тогда каждая компонента вектора j (в любом фиксированном базисе) является суммой квазимногочленов от t с показателямиl_i степеней меньше n_i соответственно:

(1.75)

где p_jl(t) - многочлен степени меньше k_l.

Доказательство. Решение уравнения (1.74) есть и тогда формулы (1.75) получаются в силу следствия 1.3.1.

В том случае, когда матрица A = (a_ij) вещественна, встает задача выделения из совокупности всех решений, задаваемых формулами (1.75), действительных решений.

Пусть A: ® - линейный оператор соответствующий данной вещественной матрице A (в некоторoм базисе) и задающий линейное уравнение

(1.76)

Комплексификация уравнения (1.76) - это уравнение с комплексным фазовым пространством

(1.77)

Лемма 1.3.1 Решения уравнения (1.77) с комплексно-сопряженными начальными условиями комплексно сопряжены.

Доказательство. Пусть j - решение с начальным условием

Тогда

Покажем, что - решение. В силу единственности лемма будет доказана. При любом значении t мы имеем

что и требовалось доказать.

Лемма 1.3.2 Решение уравнения (1.77) с вещественным начальным условием вещественно и удовлетворяет уравнению (1.76).Решение с вещественным начальным условием не может иметькомплексных значений.

Действительно, по лемме 1.3.1, если j - решение, то таковой является и функция. Но если бы ¹ j, то нарушалась бы теорема единственности.

Лемма 1.3.3 Функция тогда и только тогда является решением комплексифицированного уравнения (1.77), когда ее вещественная и мнимая части удовлетворяют исходному уравнению (1.76).

Доказательство. Пусть. Тогда

и поэтому овеществление уравнения (1.77) распадается в прямое произведение:

Из лемм 1.3.1 и 1.3.3 видно, как, зная комплексные решения уравнения (1.77), можно находить вещественные решения уравнения (1.76) и обратно.

Лемма 1.3.4 Пусть A: ® - вещественный линейный оператор. Пусть l - один из корней характеристического уравнения, вообще говоря, комплексный. Если - собственный вектор оператора с собственным значением l, то - собственный вектор с собственным значением. Кратности собственных чисел l и совпадают.

Действительно, уравнения и эквивалентны, матрица [ ] вещественна, и поэтому характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты.

Итак, если A: ® вещественный линейный оператор (соответствующий вещественной матрице A), то в пространстве существует базис, в котором комплексифицированному оператору соответствует матрица, имеющая жорданову нормальную форму (1.67). При этом, наряду с жордановой клеткой

(l - комплексное собственное значение A) в матрице (1.67) присутствует клетка той же размерности с числом, т.е.

Базисные вектора мы разобьем на s групп (по числу жордановых клеток матрицы (1.67))

количество векторов в каждой такой группе равно размерности соответствующей клетки жордана. Поскольку координатный столбец имеет вид

то первая группа векторов, соответствующая первой жордановой клетке

удовлетворяет соотношениям

(1.78)

Такая система векторов называется серией с собственным значением l₁ относительно оператора. Поскольку матрица [ ] = A вещественна, то серии можно выбрать так, чтобы серии с действительными собственными значениями были действительны, а серии с комплексными собственными значениями были попарно сопряжены.

Из (1.78) следует, что

(1.79)

Решение комплексифицированного уравнения (1.77) с начальным условием дается формулой

(1.80)

Если начальный вектор вещественный, то раскладывая его по базису x, получаем

(1.81)

причем константы при действительных векторах действительны, а при комплексно сопряженных - комплексно сопряжены. В силу формул (1.79) тогда получаем

(1.82)

Решение (1.82) действительно и в исходной системе координат имеет вид

(1.83)

Здесь и очевидно, эти вектора удовлетворяют соотношениям вида (1.78) с матрицей.

ЧАСТЬ 2. ГЛАВА 2

Дата добавления: 2014-01-03