Уравнения математической физики

Изучаются дифференциальные уравнения в частных производных, т.е. уравнения, содержащие неизвестную функцию нескольких переменных и ее частные производные по этим переменным.

Порядок дифференциального уравнения – наивысший порядок частной производной, входящей в это уравнение. Например:

- уравнение первого порядка,

- уравнение второго порядка,

Уравнения математической физики – дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка, линейные относительно неизвестной функции и частных производных от нее. Эти уравнения имеют широкое применение в физике, механике, технике.

Свойства дифференциальных уравнений в частных производных существенно отличаются от свойств обыкновенных дифференциальных уравнений. Так в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, общие решения которых содержат произвольные постоянные, общие решения дифференциальных уравнений в частных производных могут содержать произвольные функции. Например:

имеет общее решение , поскольку при подстановке в уравнение удовлетворяет ему.

имеет общее решение .

Уравнения математической физики для функции двух переменных имеют общий вид:

, 1)

где - определенные постоянные числа, - заданная функция. Уравнение 1) принадлежит к гиперболическому типу уравнений, если , к параболическому типу, если ик эллиптическому типу, если . Если в уравнении 1) правая часть равна нулю, то уравнение называется однородным. Оно имеет вид

. 2)

Решения однородных линейных уравнений обладают тем свойством, что если функции являются решениями уравнения 2), то их линейная комбинация , также является решением этого уравнения. Аналогичное свойство имеет

место для обыкновенных однородных линейных дифференциальных уравнений, однако, обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n– го

порядка имеет в точности n линейно независимых частных решений, линейная комбинация которых дает частное решение. Уравнение же в частных производных может иметь бесчисленное множество линейно независимых частных решений, а тогда получаем общее решение дифференциальных уравнений математической физики в виде бесконечных рядов, членами которых служат произведения произвольных постоянных на частные решения: .

Дата добавления: 2015-07-13