Определение. Число называется пределом функции в точке , если: , такое, что при выполняется: .

Предел функции в точке (при).

Предел функции при.

Число называется пределом функции , при если:

, так, что выполняется: .

Объяснение: для любой заранее заданной погрешности существует такая константа М, что правее неё график отклоняется от ординаты А не более, чем на .

Аналогично определяется предел при для левой полуоси.

Пример. . Два различных предела при и . . Предел на правой полуоси равен , но при этом ни в одной точке функция не принимает это значение.

Пример. Найти .Вычисление проводится таким же методом, как в случае последовательности, где было . Сократим на , получим = .

Как видим, вычислять пределы для дробно-рациональных выражений можно тем же методом, что было для последовательностей. Как видим, эта ситуация сильно напоминает то, что было в случае пределов последовательностей, только там дискретная величина а здесь непрерывная, .

(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такое число дельта, так что если модуль разности меньше дельта, то модуль разности меньше, чем эпсилон).

Обозначение .

В случае существования предела, получается, что задавая погрешность можно найти такой интервал в области определения, что отклонение значений от А будет меньше чем . Фактически, часть графика впишется в некоторый прямоугольник, при уменьшении одной стороны будет уменьшаться и вторая.

У студентов может закономерно возникнуть вопрос, а для чего вообще нужно понятие предела в точке, и почему нельзя просто подставить и вычислить функцию. Проблема в том, что не всегда значение функции существует в точке. Иногда бывает так, что формально её вычислить нельзя. Например, для функции значение в точке =3 не существует. При вычислении на калькуляторе поочерёдно числителя и знаменателя, получили бы и калькуляторы, компьютеры выдали бы сообщение об ошибке. Но ведь в соседних точках значение функции есть. График функции подходит к некоторой точке в плоскости. Так вот, её ордината и равна этому пределу.

Пример. Вычислить предел .

В точке 3 значение функции не существует, однако во всех соседних точках существует, и можно узнать, к какой ординате стремится график при . Разложим на множители:

= = = 6.

Тот множитель, который отвечал за стремление к 0 в числителе и знаменателе, сокращён, поэтому далее удалось просто подставить 3 и получить ответ.

Как видим, методы разные: если неопределённость типа , то выделяем множители, чтобы сократить те множители, которые стремятся к 0. Если неопределённость , то корни искать не нужно, а нужно сократить на степенную функцию старшей степени. Для неопределённостей типа основным методом является разложение на множители, и сокращение тех множителей, которые ответственны за стремление к 0.

Пример функции, не имеющей предела в нуле. . Здесь при приближении к 0 бесконечное число колебаний, то есть, уменьшая область определения, например интервал , никак не удастся получить уменьшение области значений функции над этим интервалом, размах колебаний всё равно останется от -1 до 1. При подходе абсциссы к 0, функция здесь должна пройти бесконечное число колебаний амплитуды 2 (от -1 до 1).

Дата добавления: 2017-01-13