Формула взаимосвязи производной по направлению и градиента

Производная по направлению.

В определении частных производных, мы рассматривали приращение аргумента в виде или . Но ведь от исходной точки можно отступить не только в направлении координатных осей, но и в произвольном направлении. Если рассмотреть разность значений функции в какой-то паре точек, расположенных произвольно, а не вдоль оси, то есть и затем приближать 2-ю точку к первой, и при этом делить на расстояние между точками, получим предел

называется «производная по направлению». Будем считать, что вектор нормирован, то есть . Только в этом случае мы получим правильный результат, ведь нужно измерять скорость изменения функции именно в расчёте на единицу длины при движении по этой прямой.

Если это направление соответствует какой-либо из координатных осей, то как раз и получаются частные производные, которые изучили раньше.

.

Доказательство. Обозначим координаты вектора . Точка M произвольная, её координаты , а точка . Так как то их координаты пропорциональны, то есть

, что также записывается в параметрическом виде:

Это функция .

Рассмотрим производную композиции функций , а именно . Одно число (время t) сначала отображается в тройку чисел (координаты точки в момент времени) а затем функция f отображает эти 3 числа снова в одно число.

Производная внешней функции (которая действует последняя) это вектор-строка градиент функции f.

Производная внутренней функции (которая действует первая) это вектор-столбец.

Но ведь , аналогично и . Тогда

Но это и есть скалярное произведение градиента и вектора .

Отсюда виден смысл градиента.

Геометрический смысл. Градиент это вектор, при движении в направлении которого рост функции наиболее быстрый. Если движение в перпендикулярном направлении, то рост функции будет нулевым. Если под большим увеличением рассмотреть какой-то небольшой кусочек поверхности, то он выглядит почти как наклонная плоскость, а для наклонной плоскости при движении в ту сторону, куда она наклонена, наибольшая скорость роста высоты, в перпендикулярном направлении - высота не изменяется, а при движении в противоположном - уменьшается.

Замечание. Если направление - по координатной оси, то производная по направлению как раз и совпадает с какой-либо из частных производных. Если вектор вдоль оси Ox, то , скалярное произведение этого вектора и градиента это

= .

Дата добавления: 2017-01-13