Производная функции, заданной неявно

Лекция № 13. 02. 12. 2016

Теорема. Пусть кривая неявно задана уравнением , точка кривой. Тогда градиент ортогонален этой кривой.

Доказательство. Кривая также может быть задана и параметрически. Тогда получается функция , то есть F в итоге есть функция от t, она получается тождественно равной 0. Тогда и её производная по t тоже тождественный 0.

. Запишем по формуле полной производной:

. Но ведь это и есть скалярное произведение векторов и .

Геометрический смысл: сечение поверхности, наибольший рост ортогонален сечению. Пример: Если на склоне горы двигаться к вершине, то на карте движение будет видно как ортогональное линии уровня.

Теорема. Пусть поверхность неявно задана уравнением , точка поверхности. Тогда градиент ортогонален этой поверхности.

Доказательство. Рассмотрим произвольную кривую, которая целиком лежит на поверхности. Её можно задать параметрическими уравнениями: .

Вектор, лежащий на касательной к этой кривой в точке , это - вектор, который в физике называется вектором скорости. Заметим, что все такие касательные векторы для кривых, лежащих на данной поверхности и проходящих через , принадлежат касательной плоскости.

Так как , а такие, что точка принадлежит поверхности при любом t, то

, то есть F, как функция от t, получается тождественно равной 0.

Тогда и её производная по t тоже тождественный 0.

. Запишем по формуле полной производной:

но ведь это и есть скалярное произведение векторов и .

Получается, что , то есть градиент ортогонален к касательной для любой кривой, проходящей через точку . В итоге, доказали, что градиент ортогонален касательной плоскости, что и означает, что он ортогонален поверхности в данной точке.

Формула: .

Доказательство. Пусть - неявное уравнение кривой. Переменная явно не выражена, однако теоретически, какая-то функция существует, просто нам она неизвестна. Тогда, тем не менее, можем записать: . Вычислим производную по формуле полной производной, здесь просто одна переменная, а именно , совпадает с параметром .

, то есть , то есть , тогда , и как следствие, .

Пример. Найти тангенс угла наклона касательной к окружности в точке .

Неявное уравнение .

= = = , что в данной точке равно .

Эта точка и касательная отмечены на чертеже: конечно, и так видно, что касательная наклонена под углом -45 градусов, то есть производная .

Для сравнения, если бы не было этой формулы, можно было сначала выразить явно: ,

затем найти производную и подставить , тогда .

Дата добавления: 2017-01-13