Частные производные и градиент

Производная функции.

Производные высших порядков.

Если мы вычислили 1-ю производную, то получили новую функцию. Но ведь для неё тоже существует производная. . Вторая производная - это производная от первой производной.

2-я производная в точке определяется так:

Пример. .

Пример. Производная 4 порядка для синуса или косинуса - это исходная функция. .

Производная порядка n обозначается . Здесь n в скобках это не степень! Такое обозначение ввели, чтобы не писать много штрихов, ведь их будет трудно различить. Если производная выше 3 порядка, то лучше использовать такое обозначение.

Пусть дана векторная функция, отображающая одну переменную в n переменных. .

Координатные функции дифференцируются независимо друг от друга:

.

Как правило, это применяется в физических задачах на движение.

Там 3 координаты это функции от времени, то есть координаты в момент времени, а производная это вектор скорости: .

Мы рассмотрели случай . Как видим, там метод дифференцирования практически ничем не отличается от случая скалярных функций, просто есть n компонент. А теперь рассмотрим производные для функций нескольких переменных . Пусть например, дана функция , или . Приращение аргумента в этом случае задаётся не однозначным образом: ведь можно задать приращение каждому из аргументов, которых несколько. Так, например, для можно фиксировать y и рассмотреть функцию . Это уже будет функция одной переменной. График функции это поверхность, тогда при фиксировании получается сечение поверхности вертикальной плоскостью, то есть кривая.

Можно задать приращение только для , и тогда получим такое понятие, как частная производная.

Определение. Производной функции f по переменной x называется предел:

.

Кроме ещё применяют такое обозначение: .

Аналогично определяется частная производная по y, ведь можно взять вторую точку, отступив в направлении другой оси.

.

Геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной к кривой, получающейся в одном из сечений.

Физический смысл. Если функция - это температура воздуха, то например, при движении самолёта строго на юг температура за бортом будет возрастать, а при движении на запад или восток почти неизменна. Как видим, частные производные в двух перпендикулярных направлениях могут сильно отличаться.

Дата добавления: 2017-01-13