Доказательство

Теорема 1.

1). Если то:

при и при .

2). Если то:

при и при .

Доказательство. Рассмотрим дробь . Предел этой дроби при равен .

Если , то есть предел функции больше нуля, то в некоторой окрестности эта функция положительна. Для точки из правой полуокрестности, , верно , то есть .

Но так как дробь больше нуля, , тогда и числитель должен быть больше нуля. , тогда .

Если точка - в левой полуокрестности , тогда , то есть , и в положительной дроби будет отрицательный знаменатель, тогда и числитель должен быть меньше нуля. , тогда для точек .

Итак, справа от точки график функции выше, чем ордината , а слева - ниже. То есть, экстремума там точно нет.

Если то доказывается аналогично: в некоторой окрестности, то при то есть положительном знаменателе, должен быть отрицательный числитель, и тогда . А при знаменатель отрицательный, тогда числитель положительный, и .

Итак, теорема доказана.

Из Т.1 следует, что если производная в точке не равна 0, а является положительным или отрицательным числом, то экстремума точно нет.

По законам логики, если из А следует В, то из отрицания В следует отрицание А. Тогда можно вывести такой односторонний факт: если экстремум есть, то производная равна 0. Правда, только с оговоркой, что производная в той точке существует. Ведь как мы видели, для модуля производная может не существовать в точке 0.

Теорема 2. (Ферма) (необходимый признак экстремума).

Если функция дифференцируема в точке , и - точка экстремума, то .

Доказательство опирается на теорему 1. Если допустить, что точка экстремума, но производная не 0, то тогда производная в точке равна какому-то числу, положительному или отрицательному. А тогда по прошлой теореме, справа и слева от этой точки график то выше, то ниже, то есть не может быть экстремальным значением во всей окрестности.

Замечание. Если функция дифференцируема, а следовательно и непрерывна, то должна при возрастании из отрицательных значений в положительные пройти через 0. Если же разрывна, то можете перескочить через 0, так чтобы 0 не был знаением ни в одной точке. Поэтому эта теорема и не применима для функции . Для неё производная равна до начала координат, а потом сразу 1, проходит через разрыв 1 рода, то есть скачок, и производная в точке минимума не равна 0, а сразу перескочила в положительное значение.

Теорема 3. (достаточный признак экстремума на основе 1-й производной)

1). Если при и при то - точка максимума,

2). Если при и при то - точка минимума.

Если до точки производная больше нуля, то это значит, что функция возрастает в левой полуокрестности. При возрастании, чем правее точка, тем больше в ней значение. Но ведь это правая граница множества . Таким образом, наибольшее значение во множестве .

При убывании, чем правее точка, тем меньше в ней значение. Но ведь это левая граница множества . Таким образом, наибольшее значение также и во множестве . Получается, что - наибольшее значение во всём множестве , а это и есть максимум.

Доказали подробно 1-й пункт, 2-й аналогичными рассуждениями с заменой неравенств на противоположные.

Итак, на стыке интервалов монотонного роста и убывания - точки экстремума. Таким способом и можно находить экстремумы. Кстати, для теоремы 3 всё равно, гладкая функция или точка излома (производная разрывна) в точке экстремума. Она применима и для функции .

Теперь становится ясно, почему у кубической параболы нет экстремума в точке (0,0): интервал роста сменяется снова на интервал роста, поэтому, хоть даже и производная равна 0, но экстремума там нет.

Пример. Найти экстремумы .

Решение. Найдём = . Корни 1 и 3. Выясним знак производной на каждом из интервалов , и . Для этого надо вычислить знак в какой-нибудь точке на каждом из этих интервалов. Желательно для удобства вычислений взять целое число как представителя интервала.

Например, , и .

. . .

Таким образом, в точке рост сменяется убыванием, точка максимума. В точке убыванием сменяется ростом, точка минимума. Можно вычислить и ординаты, чтобы более подробно нарисовать график. Точки экстремума (1, 4/3) и (3, 0). Вот график:

Теорема 4. (достаточный признак экстремума на основе 2-й производной)

Если функция дважды дифференцируема, и , то:

при - то в точке минимум,

при в точке максимум.

Дата добавления: 2017-01-13