Доказательство. Если вторая производная больше нуля, значит, первая производная возрастает при прохождении через точку

Если вторая производная больше нуля, значит, первая производная возрастает при прохождении через точку . То есть, до точки она была отрицательна, а после положительна. Т.е. переходит из - в +, то есть точка на стыке интервалов убывания и роста. По теореме 3 это и означает, что там минимум. Изобразим семейство касательных в точках вокруг минимума:

касательная была направлена вниз, а после прохождения через эту точку - повернётся вверх.

Аналогично, если , то убывающая, что означает, что она проходит через 0 именно в процессе убывания, т.е. положительная в левой полуокрестности и отрицательна в правой. По теореме 3 это и означает, что в точке максимум. Теорема доказана.

Замечание. Этот факт легко запомнить: для параболы вторая производная равна +2, а там минимум, так как ветви этой параболы направлены вверх. Для будет , для неё - максимум.

Решим тот же самый пример теперь с помощью 2 производной. , = . Точки с нулевой производной 1 и 3. А теперь не будем искать знак производной на каждом интервале, а просто вычислим .

в точке максимум.

в точке минимум.

Но что делать, если окажется ? Как видим, такие ситуации тоже бывают, например, рассмотрим функции и . Для , , и там нет экстремума. Для 4-й степени, , тоже , но для есть минимум в нуле. В чём же разница и как узнавать, есть ли экстремум? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Дата добавления: 2017-01-13