Выпуклость вверх (вниз) графика функции и 2 производная

Выпуклое множество.

Определение. Множество D называется выпуклым, если для любой пары точек этого множества отрезок, соединяющий их, состоит из точек, принадлежащих этому множеству.

В первом примере множество выпуклое, во втором нет: есть пары точек, такие, что кратчайшая линия, соединяющая их, выходит за пределы этого множества.

Ещё пример не выпуклого множества на карте. Если лететь с Каматки, то кратчайшая линия проходит над морем, а если из Владивостока - над чужой территорией. Есть соединяющая линия, проходящая по своей территории и именно над сушей, но она - не кратчайшая.

Для графиков функций эти понятия обобщаются так.

Функция называется выпуклой вверх (соотв., вниз) на отрезке [a,b], если график проходит выше (соотв., ниже) любой хорды, соединяющей пару точек на графике.

На чертеже: для выпуклой вверх функции , для выпуклой вниз .

В случае, когда f выпукла вверх, множество точек, расположенных под графиком является выпуклым множеством, а если выпуклая вниз - то выпуклое множество точек, лежащих над графиком.

Если f выпукла вверх, то угол наклона касательной уменьшается при движении точки вправо, то есть убывает, а это происходит тогда и только тогда, когда .

Если f выпукла вниз, то соответственно возрастает, а .

Теорема. Функция выпукла вверх , функция выпукла вниз .

Определение. Если , при этом в правой и левой полуокрестности разного знака, то точка называется точкой перегиба.

Точки перегиба хорошо видны и в реальной жизни: если дорога поворачивает сначала в одну сторону, например влево (при этом линия дороги выпукла вправо) а потом дорога закругляется вправо (линия при этом выпукла влево), то между ними точка перегиба.

Если мы проезжаем кольцо, то траектория движения сначала выпукла влево (заезжаем на кольцо), потом вправо (движемся по кольцу), потом снова влево (когда съезжаем с кольца на следующую часть дороги).

Пример 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба для .

, , .

При : , f выпукла вниз.

При : , f выпукла вверх.

Касательная сначала поворачивается вверх, 1-я производная растёт (в начале координат угол наклона доходит до 45 градусов), а потом снова опускается при удалении точки в .

Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба для функции .

Вторая производная: .

На : , f выпукла вверх.

На : , f выпукла вверх.

Точки перегиба: .

Дата добавления: 2017-01-13