Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини

Метод невизначених коефіцієнтів.

Щоб знайти загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=f(x), згідно з попередньою теоремою, треба знайти яке-небудь рішення даного рівняння. Для знаходження застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. Отже, якщо (y ,…,y ) фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння, то будемо шукати у вигляді = c (х)у +…+c (х)у , де c невідомі функції.

Теорема. Нехай дано рівняння y +p (x)y +…+p (x)y=f(x) і f(x), неперервні на [a;b]. Якщо y ,…,y - фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння, то функція = c (х)у +…+c (х)у є рішенням вихідного рівняння, якщо є рішенням системи рівнянь:

Доведення. Покажемо, що рішення рівняння, при умові, що рішення системи. З урахуванням виконання рівнянь системи, маємо

= c (х)у +…+c (х)у

′= c у + c у

′= c у + c у

…

= c у + c у

c у + c у .

Підставляючи ці вирази у рівняння отримаємо

( - рішення однорідного рівняння), тобто задовольняє рівнянню, що й треба було довести.

Зауваження. Згідно з теоремою, для знаходження загального рішення лінійного неоднорідного рівняння достатньо знати фундаментальну систему рішень відповідного однорідного рівняння (це легко зробити для рівнянь з постійними коефіцієнтами).

Нижче розглянемо три випадки правої частини лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами при яких розвязок рівняння має спеціальний вид. Отже, нехай маємо лінійне рівняння з постійними коефіцієнтами y + y +…+ y=f(x) ( - константи).

1. Нехай f(х)=Ps(x)= многочлен порядка .

a) Якщо a ≠0, то шукаємо у вигляді = = , де невідомі коефіцієнти які легко знайти якщо підставити у рівняння і прирівняти коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і правій частинах.

б) Якщо a = a =…=a =0 і a ≠0, то шукаємо у вигляді = (спосіб знаходження той же що і в а).

2. Нехай f(х)= (x).

a) Якщо р не буде коренем характеристичного рівняння , то шукаємо у вигляді = (де розшукується аналогічно 1).

б) Якщо р - корінь порядка характеристичного рівняння,то = .

3. Нехай f(x)= (), де P (x), - відомі многочлени порядка не вище ( – найбільший порядок з двох).

а)Якщо не буде коренем характеристичного рівняння, то = , де М (x), - невизначені многочлени порядка S. Коефіцієнти многочленів М (x), знаходимо підставляючи у рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при додатках в лівій і правій частинах.

б) Якщо - корінь порядка характеристичного рівняння, то = . Знаходження М (x) і аналогічно а).

Дата добавления: 2017-01-13