Математические модели в инженерной практике 3 страница

Эти особенности называют условиями однозначности. Сюда входит описание формы и указание размеров тела, указание значений его физических свойств.

Наиболее важными среди условий однозначности являются краевые условия, разделяющиеся на пространственные (граничные) и временные (начальные). Их количество зависит от типа уравнений.

Дифференциальные уравнения в частных производных можно разделить на три типа:

I. Эллиптические уравнения описывают стационарные (установившиеся) процессы в замкнутой области пространства. Они не содержат производных по времени и к ним ставятся только граничные условия (на границах рассматриваемой области), которые в свою очередь могут быть разного рода. Наиболее важные:

а) Условия I рода, когда на границах области задаются значения искомых величин;

б) Условия II рода, когда на границах задаются значения производных от искомых величин;

в) Условия III рода, когда на границах области задаются соотношения между значениями искомых величин и их производных; например, соотношение

выражает так называемый "закон Ньютона-Рихмана" для теплообмена тела с омывающей его жидкостью температуры T₀ (здесь a - постоянный коэффициент теплоотдачи).

Примером эллиптического уравнения может служить уравнение Лапласа.

II. Параболические уравнения описывают нестационарные процессы в замкнутой области. Они содержат первые производные искомых величин по времени и краевые условия к ним, помимо граничных, включают еще и начальные – значения искомых величин в начальный момент процесса. Примерами параболических уравнений служат уравнения теплопроводности и диффузии.

III. Гиперболические уравнения описывают волновые процессы. В них входят вторые производные по времени; соответственно, в состав краевых условий входят два начальных – значения искомых величин и их производных в начале процесса. Пример гиперболического уравнения – волновое уравнение.

Дата добавления: 2017-01-13