Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. 3 страница

4.2.Работа 2: Решение трансцендентных алгебраических уравнений

Цель работы: знакомство с методами решения уравнений общего вида F(x)=0, неразрешимых в квадратурах (см. п. 3.2)

1. Метод половинного деления интервала

В электронных таблицах Excel описанный в п 3.2. метод реализуется в таблице, содержащей 6 столбцов от A до F (можно, впрочем, обойтись пятью, но таблица из 6 столбцов позволяет более наглядно проследить процесс решения). Столбцы следует выделить и отформатировать с помощью меню “Формат” – “Ячейки” – вкладка “Числа” – в списке форматов числа выбрать “Числовой” и установить число десятичных знаков 5.

Столбцы заполняются следующим образом:

A1:F1 – заголовки:

	A	B	C	D	E	F
	a	b	c=(a+b)/2	F(a)	F(b)	F(c)

A2:B2 – начальные значения a и b;

C2- заносится формула вычисления полусуммы содержимого ячеек A2 и B2;

D2:F2 – заполняются формулами для вычисления функции F(x) в зависимости от значений ячеек A2:C2 соответственно. При этом можно воспользоваться копированием формулы из ячейки D2 в соседние ячейки строки 2.

A3 – если корень уравнения локализован на отрезке [a,c], заносится прежнее значение а (из ячейки А2); в противном случае – значение с (из ячейки С2). Это делается с помощью логической функции ЕСЛИ, условие локализации имеет вид: F(a)×F(c)<0.

В3 – аналогичным образом заполняется значением из ячейки С2, если корень локализован на отрезке [a,c], в противном случае – значением из ячейки В2.

С3:F3 – копируются формулы из предыдущей строки.

Затем диапазон A3:F3 выделяется целиком и копируется нв несколько строк вниз. При этом можно видеть, что значения в ячейках столбцов А, В, С сближаются, что показывает постепенное сужение отрезка локализации корня. Также сближаются (и приближаются к нулю) значения в столбцах D, E, F.

Об окончании процесса определения решения свидетельствует совпадение значений в ячейках столбцов A, B, C. Если ячейки отформатированы с выводом на экран 5 десятичных знаков, совпадение наблюдаемых на экране значений говорит о том, что разница между ними (и, соответственно, погрешность определения корня) не превышает 10^-6.

2. Метод последовательных приближений (итераций)

Уравнение приводится к виду x=f(x). Задается какое-нибудь начальное приближение значения корня x₁ (например, из ранее определенного отрезка [a,b]). Это значение подставляется в правую часть уравнения и вычисляется f(x₁). Это значение принимается за новое приближение значения корня и опять подставляется в правую часть уравнения, так что на каждом шаге процесса x_i+1=f(x_i).

Процесс повторяется до тех пор, пока два последовательно вычисленных приближения корня не совпадут с заданной точностью.

Этот процесс организуется гораздо проще, чем процесс половинного деления интервала и быстро сходится, однако сходимость имеет место только при выполнении на отрезке локализации корня условия: ½f ¢(x)½<1.

Простейший вариант реализации итерационного процесса в EXCEL требует использования всего двух столбцов, заполняемых следующим образом

	A	B
	x (заголовок)	f(x) (заголовок)
	x1 (число)	формула вычисления f(x1)
	=В2	копируется формула из В2
4-…	копируются формулы из предыдущей строки вниз на несколько строк…

После копирования последней строки вниз можно видеть, как значения в ячейках столбца А постепенно перестают меняться, т.е., приближения корня сходятся к его точному значению. Окончание процесса определяется визуально, по виду содержимого ячеек.

3. Использование модуля "Подбор параметра"

"Подбор параметра" – модуль (пакет встроенных процедур) для решения задач с одним неизвестным. Для решения следует привести уравнение к виду F(x)=0. Таблица заполняется следующим образом

	А	В
	начальное значение х	формула F(x)

Затем с помощью меню “Сервис” – "Подбор параметра" запускается модуль. Появляется окно с заголовком "Подбор параметра" и тремя внутренними окнами, которые заполняются:

· окно “Установить в ячейке” – вносится адрес ячейки с формулой F(x);

· окно “Значение” – вносится число 0;

· окно “Изменяя значение ячейки” – адрес ячейки со значением х (в данном случае А1).

Затем нажимается виртуальная клавиша [OK]. Появляется следующее окно с сообщением “Решение найдено”, в котором можно видеть также величину погрешности, с которой выполняется при найденном значении корня условие F(x)=0. Нажатие клавиши [OK] в новом окне позволяет зафиксировать найденное решение.

Видно, что решение отыскивается чрезвычайно просто. Недостатки использования модуля "Подбор параметра":

а) погрешность определяется возможностями встроенной подпрограммы и уменьшить ее с помощью повторного применения модуля уже не удается;

б) в некоторых случаях компьютер вообще не может отыскать корень.

Задание: Найти решение уравнения согласно своего варианта тремя описанными способами.

1. (найти корень xÎ(0,p))

2.

3.

4.

5. ()

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

4.3. Работа 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Цель работы: изучение практических методов решения СЛАУ.

Дата добавления: 2017-01-13