Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 1 страница

15. Свойства статистических оценок.

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Примеры.

Пример.

Физика атомного ядра

Заряд ядра атома: , где - заряд электрона, - порядковый номер элемента в таблице Менделеева, определяет число электронов в атоме.

В 1932 г. Дж. Чедвиг выдвинул гипотезу: берилллевые лучи состоят из нейтральных частиц, масса которых близка к массе протона. Их назвали нейтронами. Это нестабильная частица, за 15 мин нейтрон распадается на протон, электрон и нейтрино – частицу, лишонную массы покоя.

, , .

В ядре протон и нейтрон неразличимы, и называются нуклонами.

Z – число протонов; N – число нейтронов; – массовое число, т.е. суммарное число нуклонов в ядре.

, где - символ химического элемента.

- протон; - нейтрон; - электрон.

Албфараспад. , где - символ дочернего ядра; - ядро атома гелия ; квант энергии испускаемый ядром.

- распад. .

- излучение. Возникает при ядерных превращениях и представляет собой электромагнитное излучение. Имеет высокую энергию.

Закон радиоактивного распада: . Для каждого радиоактивного вещества существует интервал времени, на пртяжении которого активность убывает в 2 раза.

Эмпирическая формула Бальмера описывает серии в спектре простейшего атома – атома водорода: .

Серия Лаймана , m=1; n=2, 3, 4, ….

СерияБальмера , m=2; n= 3, 4, 5, ….

Одним из следствий совместного применения теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной (или средней) вероятности:

Р(А) = ∑Р(Н_i) ∙ Р(А/Н_i), где Н_i – образуют полную группу событий (Н_i ∙Hj =Ш, UH_i = Ω, ∑P(H_i) = 1), называемых гипотезами, а наблюдаемое в опытах событие А может произойти только с одним из попарно несовместных событий (гипотез) Н_i.

При этом после осуществления события А, вероятности событий Н_i, должны быть переопределены по формуле Байеса (теореме гипотез):

Р(Нi/А) = ^{Р(Н)∙ (А/Н)}, позволяющей скорректировать значение

Р(А)

Р(Н_i) по результатам опыта.

Пример 15. В сборочный цех поступает40 %деталей изIцеха и60 % - из II цеха. В I цехе производится 90 % стандартных деталей, а во II цехе – 95 %. Найти вероятность, того, что наудачу взятая для сборки деталь окажется стандартной и она изготовлена II цехом.

Решение: Событие А–взятая наудачу деталь–стандартна,приэтом имеются две гипотезы: Н₁ – деталь изготовлена I цехом, Н₂ – деталь изготовлена II цехом. Очевидно, событие Н₁ и Н₂ образуют полную группу событий:

(Р(Н₁) = 0,4) + (Р(Н₂) = 0,6) = 1. Р(А/Н₁) = 0,90; Р(А/Н₂) = 0,95.

По формуле полной вероятности находим: Р(А) = 0,4∙0,9 + 0,6∙0,95 = 0,93.

По формуле Байеса: Р(Н2/А) = ^{Р(Н2)∙Р(А/Н2)} = ¹⁹ ≈ 0,613.

Р(А) 31

Пример 15 а (для самостоятельного решения). Имеются двеодинаковые урны. В первой урне – 3 черных и 7 белых шаров, а во второй – 4 черных и 6 белых шаров. Наудачу выбирается одна урна, а из нее наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар оказался белым.

(Ответ: 0,538)

Пример 15 б. В первой урне5белых и10черных шаров,во второйурне – 3 белых и 10 черных шаров. Из второй урны в первую перекладывают один шар, а затем из первой урны вынимают один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый и он был ранее в первой урне.

Решение: Р(Н₁) =¹⁵₁₆;Р(Н₂) =₁₆¹;Р(А/Н₁) =₁₅⁵;Р(А/Н₂) =₁₀³.15 ^∙ 5 ⁺ 1 ^∙ 3 53 15 ^∙ 5 53 50

Тогда Р(А) =_{16 15 16 10} = ₁₆₀. Р(Н1/А) = _{16 15}: ₁₆₀ = ₅₃.

Пример 15 в (для самостоятельного решения). Прибор содержиттри микросхемы (МКС). Вероятность выхода из строя первой МКС равна 0,07; второй – 0,10; третьей - 0,2. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что прибор выйдет и строя из-за отказа первой МКС. (Указание: Событие А – вышла из строя одна МКС, Н₁ – отказала первая МКС, Н₂ – отказала вторая МКС, Н₃ – отказала третья МКС).

(Ответ: Р(А) = 0,07∙0,9∙0,8 + 0,1∙0,93∙0,8 + 0,2∙0,93∙0,9; Р(Н₁/А) ≈0,173)

Пример 15 г (для самостоятельного решения). Число легковыхмашин трех типов, проезжающих по шоссе, соотносится как 30: 60: 10. Вероятности их заправки на АЗС равны 0,22; 0,33; 0,11. Найти вероятность того, что подъехавшая для заправки машина – третьего типа.

(Ответ: Р(А)=0,275; Р(Н₃/А)= 0,004).

Пример 15 д (для самостоятельного решения). Однотипныеприборы выпускаются тремя изготовителями в соотношении 1: 2: 3, причем вероятности брака соответственно равны 3 %; 2 %; 1 %. Прибор, приобретенный НИИ, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор был изготовлен первым заводом.

(Ответ: 0,3)

Пример 15 е (для самостоятельного решения). Вероятностипопадания в цель для трех стрелков равны 0,2; 0,4; 0,6. При одновременном выстреле в мишень было обнаружено одно попадание. Найти вероятность того, что а) в цель попал только первый стрелок; б) первый стрелок промахнулся.

(Ответ: 0,103; 0,897)

Пример 15 ж (для самостоятельного решения). В среднем30 %

от всех попавших в больницу имеют заболевание А, 20% - В, 50% - С. Вероятности излечения от этих болезней соответственно равны 0,75; 0,85; 0,95. Найдите вероятность того, что попавшие в больницу с заболеванием А, выпишутся здоровыми.

(Ответ: 0,259)

Пример 15 з (для самостоятельного решения). Партия деталейизготовлена тремя рабочими, причем первый изготовил 35 % и брак составил 2 %, второй - 40 % (брак – 3%), третий – всю остальную продукцию (брак – 4 %). Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Найдите вероятность того, что эта деталь изготовлена третьим рабочим.

(Ответ: 0,345)

Пример 15 и (для самостоятельного решения). Три стрелкапроизвели по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,6; второго – 0,7; третьего – 0,8. Известно, что при одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2; при двух – 0,6; при трех – цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.

(Ответ: 0,645)

Пример 15 к (для самостоятельного решения). В пяти ящикахнаходятся одинаковые по размеру и весу шары. В двух ящиках – по 6 белых и 4 красных шара, в двух других ящиках - по 8 белых и 2 красных шара. В одном ящике – 2 белых и 8 красных шара. Наудачу выбирается ящик и из него наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что а) этот шар – красный; б) извлеченный красный шар принадлежит ящику второго типа.

Дата добавления: 2017-01-14