Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 3 страница

х
р		0,1	0,2	0,4	0,2	0,1
	М(х^2) =		∙ 0,1 + 16	∙ 0,2 + 49 ∙ 0,4 + 81 ∙ 0,2 + 121 ∙ 0,1 = 0,4	+ 3,2 +

19,6 + 16,2 +12,1 = 51,5

DX = ∑(М(х²)) – М²(х) = 51,5 – 6,7² = 6,61

σх = √DX = √6,61 ≈ 2,57, Мо = 7(рмах =0,4).

Пример 16б (для самостоятельного решения). Вычислить

математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, а также найти моду, функцию распределения ДСВ

х
р		0,1	0,2	0,4	0,3
	и построить ее график.

(Ответ: МХ = 5,8; DX = 8,56; х = 2,93; М_о= 5)

Пример 16в (для самостоятельного решения). Дискретнаяслучайная величина Х может принимать только два значения х₁ и х₂. Найти закон распределения СВ, если вероятность Р₁ = 0,5, математическое ожидание МХ = 3,5 и дисперсия DX = 0,25.

(Указание: для решения нужно воспользоваться формулой DX = ∑(М(х²)) – М²(х) и условием Р₁ + Р₂ = 1).

(Ответ: Р₁(3) = 0,5; Р₂(4) = 0,5).

Пример 16г (для самостоятельного решения). Даны всевозможные значения ДСВ: х₁ = 1; х₂ =2; х₃ = 3, а также известны МХ = 2,3; М(х²) = 5,9. Найти закон распределения случайной величины.

(Ответ: Р(1) = 0,2; Р(2) = 0,3; Р(3) = 0,5).

Пример 17. Непрерывная СВ задана функцией распределения

0, ≤ 0; F(x) = { ², ∈ (0; 1]

1, > 1.

Найдите: f(x), МХ, DX, х, р(

;

).

0,

х ≤ 0;

=∫^1

Решение: f(x)

={2х,

х ∈ (0; 1];

МХ

∙ 2 =

;DX =

0,

х > 1

∫0

(−

)

∙ 2 =

;

х =

√

= 0,236;

р(

;

) = F(

) - F(

) = (

−

) =

.

Пример 17а (для самостоятельного решения).

Зная F(x) =

x2

-

x3

, x ∈ [0; 2];

F(x) = 0; x<0; F(x)=1; x>2; найти Мо, Ме, МХ, DX, х.

(Ответ: М_о=1; М_е=1; МХ=1; DX=0,2; х=0,447).

8. Некоторые распределения случайных величин

Как уже отмечалось, в числе законов распределения случайных величин и в частности ДСВ наиболее распространенным является

биномиальное распределение,определяемое формулой Бернулли:

Рп (Х=т) = С^−, где С =	!	,
!(−)!
р –вероятность случайной величины Х,	q = 1 – p,

п – число испытаний, т =0, 1, 2, … п.

Случайная величина Х, распределенная по биномиальному закону, является числом успешных испытаний, с вероятностью р в схеме Бернулли при проведении п независимых опытов.

Математическое ожидание и дисперсия СВ, имеющей биномиальный закон распределения, находятся по формулам: М(Х) = пр; DX = прq, при этом число т_о называется наивероятнейшим числом наступлений события А в испытаниях,если значение Р,при т= т_о не меньше остальных значений Р:

np - q≤ т_о≤np + p.

Пример 18. Вероятн ость попадания в цель при отдельномвыстреле составляет 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести выстрелах и определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

Решение:

n= 6, m = 5, p = 0,8, q = 0,2, P₆(5) = ₆^{5 5} ∙ 0,2 = 0,39; 6 ∙ 0,8 – 0,2 ≤ т_о ≤ 6 ∙ 0,8 + 0,8, откуда следует т_о =5.

Пример 18а (для самостоятельного решения). Успеваемость напервом курсе составляет 80 %. Найти математическое ожидание и

дисперсию числа успевающих студентов среди 15 наудачу выбранных первокурсников.

(Ответ: М = 50, D =8).

Пример 18б Устройство состоит из трех независимо работающихэлементов. Вероятность отказа каждого элемента = 0,1. Найти биномиальный закон распределения числа отказавших устройств.

Решение: ДСВ может принимать значение х₁= 0,х₂= 1,х₃=2,х₄₌3(что означает: все элементы работают; отказали соответственно один, два, три элемента). Тогда используя формулу Бернулли при n = 3, p = 0,1, q = 0,9, получим Р₃(0) = 0,729,

Р₃(1) = 0,343, Р₃(2) = 0,27, Р₃(3) = 0,001.

Пример 18в (для самостоятельного решения). 20 %изделий,

выпускаемых предприятием, нуждается в дополнительной регулировке. Наудачу отобрано 150 изделий. Найти среднее число изделий в выборке, требующих регулировки.

(Ответ: М = 150 ∙ 0,2 = 30).

Пример 18г. Найти вероятность того,что в семье из имеющихсяпяти детей – 3 девочки и два мальчика, если вероятность их рождения предполагается одинаковой (Найти вероятность того, что среди родившихся детей будет не более трех девочек).

Решение: р= 0,5,q = 0,5, P₅(3) =₁₆⁵.

(Р = Р₅(0) + Р₅(1) + Р₅(2) + Р₅(3) = ₁₆³).

Если число испытаний достаточно велико, а вероятность событий очень мала, то для нахождения вероятности появления событий в т

опытах часто используют приближенную формулу: Р п(т) = ^{∙ −} , где

!

а = пр, и такое распределение называют распределением Пуассона

Дата добавления: 2017-01-14