Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 5 страница

F(xy)=

∆Х/∆У	У≤ 1	1< У ≤ 2	2< У ≤ 3	3< У
Х≤ 1
1< Х ≤ 2		0,16	0,28	0,36
2< Х		0,44	0,67	1,0

МХ = 0,4; МУ = - 0,20; МХУ = - 0,10;

DХ = М(х²) – (МХ)² = 0,24; Х = 0,49; DУ = М(у²) – (МУ)² = 0,46; У = 0,68.

К_ху = МХУ - МХ∙МУ = - 0,02; r_xy = ^Кху = - 0,06.

_х∙ _у

При изучении двумерной СВ рассматриваются не только числовые характеристики одномерных ее компонент Х и У, но и числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания и условные дисперсии.

Условное математическое ожидание одной из СВ, входящей в систему, вычисляют при условии, что другая СВ приняла определенное значение: М(У/Х = х), М(Х/У = у) или М(У/х), М(Х/у) при этом в обычных формулах математического ожидания вместо распределений

вероятностей событий используются распределения условных вероятностей.

Условное математическое ожидание СВ У при заданном Х = х, т.е.

М(У/х) = (х), называется функцией регрессии или просто регрессиейУ на х (или У по х),аналогично М(Х/у) = (у)- регрессия Х на у (илиХ по у).

10. Предельные теоремы теории вероятностей

Во многих задачах теории вероятностей рассматриваются СВ, зависящие от большого числа случайных факторов, представляющих, в свою очередь, совокупность других СВ.

Некоторые свойства таких СВ описываются рядом утверждений и теорем, разделяемых условно на две группы.

Группа теорем, называемая «законом больших чисел» (ЗБЧ), подтверждает устойчивость средних значений, когда при большом числе испытаний средний результат может быть предсказан с достаточной точностью или почти достоверно. В теоремах этой группы вводится понятие сходимости СВ по вероятности, на основании которого определяется «принцип среднего арифметического СВ», постоянно используемый на практике и утверждающий, что в качестве математического ожидания случайной величины А можно взять среднее арифметическое результатов измерений.

На теоремах закона больших чисел основывается широко применяемый в математической статистике выборочный метод, суть которого состоит в том, что о качестве большой массы однородного числового материала можно судить по небольшой его пробе (выборке).

В качестве иллюстрации действия ЗБЧ приведем примеры решения простейших задач.

Пример 22. Среднее число дождливых дней в году равно90.Оценить вероятность того, что дождливых дней в году будет не более

100.

Решение: Согласно неравенству Маркова:Р(Х≤1000)≥1 -₁₀₀⁹⁰=

0,1.

Пример 22а. Номинальное значение диаметра втулки равно5мм,а дисперсия, вследствие погрешности изготовления, не превосходит

0,01. Оценить вероятность того, что реальный размер втулки будет отличаться от номинала не более чем на 0,5 мм.

Решение: Из неравенства Чебышева следует Р(|Х−а| ≤) ≥ 1-

^∆Х₂ = 1 – ^0,01_0,25 = 0,96.

Пример 22б. Определить сколько надо произвести замеровдиаметров деревьев, чтобы их средний размер отличался от ожидаемого значения не более чем на 2 см с вероятностью не меньшей 0,95, если среднее квадратичное отклонение для диаметра дерева на данном участке не превышает 10 см.

Решение: Из теоремы и неравенства Чебышева следует:

(|¹ ∑ X_i − a | < 2) ≥ 1 − ¹⁰⁰ _∙4 ≥ 0,95, откуда n ≥ 500.

Вторая группа теорем, называемая «центральная предельная теорема», устанавливает,что при достаточно общих естественныхусловиях закон распределения суммы большого числа СВ неограниченно приближается к нормальному.

Пример 22в. Найти вероятность того,что в243испытанияхсобытие А наступает ровно 70 раз, если его вероятность равна 0,25.

Решение: Искомая вероятность вычисляется по формуле Р_n(k) =

¹ (x), где

√

(x) = _√2 ^{1 − 2/2}, x =_√⁻, следующей из локальной теоремы

Муавра-Лапласа, при этом в задаче n = 243, k = 70, p = 0,25, q = 0,75.

Тогда х = 1,37; (1,37) = 0,1561 и Р₂₄₃(70) = 0,0231.

Пример 22г. (для самостоятельного решения). Вероятностьизготовления деталей 1 сорта на данном станке равна 0,4. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 26 деталей половина окажется первого сорта.

Указание: Воспользоваться локальной теоремой Муавра-Лапласа.(Ответ: 0,093)

Пример 22д. В партии из768арбузов каждый арбуз оказываетсянеспелым с вероятностью q = 0,25. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от 564 до 600.

Решение: Из теоремы Муавра-Лапласа искомая вероятностьвычисляется по формуле P(k₁; k₂) = Ф_о(х₁), где Ф_о – функция Лапласа, x

= _√⁻ _ℎ , а из условия задачи следует: q = 0,25, p = 0,75, n = 768, k₁= 564,

k₂ = 600, х₁ = 1,0, х₂ = 2,0, поэтому согласно нормальному закону Р(564;

600) = 8186.

Пример 22е (для самостоятельного решения). Найти такоечисло k, чтобы с вероятностью 95 можно было бы утверждать, что среди 800 новорожденных более m девочек. Считать, что вероятность рождения девочки 0, 485.

Указание: p = 0,485, q = 515, n = 800, k₁=k, k₂=800, P(k₁; k₂) = 0,95.(Ответ: k = 365)

Пример 22ж (для самостоятельного решения). Всхожесть семянданного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что и 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.

(Ответ: 0,9736)

Пример 22з (для самостоятельного решения). Производстводает 1 % брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбракованных будет не более 17.

Дата добавления: 2017-01-14